İntegral ve polinomlar nasıl yapılabilir.

Question

$P,Q,R,S$ polinomlar olsun .

 $F(x)=$ $\displaystyle \int_1^xPQ \displaystyle \int_1^xRS - \displaystyle \int_1^xPS \displaystyle \int_1^x QR$   ise $(x-1)^4  \big \vert F(x) $ oldugunu gösterelim.

Comments

$1$ koku. Turevini 3 kere alip gosterebilirsin. (Sorulara (yaptiklarimiz) ufak da olsa neler yaptigimizi ekleyelim lutfen).

Answer 1

$F(x)= \displaystyle \int_1^xPQ \displaystyle \int_1^xRS - \displaystyle \int_1^xPS \displaystyle \int_1^x QR $

$F(x)$ x'e bağlı bir fonksiyon

$F(1)=\displaystyle \int_1^1 \ ....=0$ dolayısıyla (x-1) F(x)'i böler.

$F'(x)=\displaystyle (RS)(x)\int_1^x PQ + (PQ)(x) \int_1^x RS $  $- $ $\displaystyle (QR)(x) \int_1^x PS - (PS)(x)\int_1^xQR$

$F'(x)=0$ bu yuzden $(x-1)^2$ böler $F(x)$'i.

$F''(x)=\displaystyle (RS)'\int  PQ +RS.PQ  +(PQ)' \int  RS+PQ.RS $ $- $ $\displaystyle (QR)' \int PS - QR.PS - (PS)'\int QR -PS.QR$

$F''(x)=\displaystyle (RS)' \int_1^x PQ + (PQ)' \int_1^x RS $  $- $ $\displaystyle (QR)' \int_1^x PS - (PS)'\int_1^xQR$

$F''(x)=0  $ ve $ (x-1)^3$ böler $F(x)$' i.

Aynı şekilde $F'''(x)=0 $   gelecektir. Buradan da $(x-1)^4$ böler $F(x)$'i göstermiş oluruz.