Aslinda yorum yazacaktim ama cevap oldu:
Biraz oyun yaparsak $$\int_0^\infty\frac{\ln (x^2+1)}{x^2+1}dx=\int_\infty^0\frac{\ln(t^2+1)-2\ln(t)}{(t^2+1)/t^2}\frac{-dt}{t^2}$$$$=\int_0^\infty\frac{\ln(t^2+1)}{t^2+1}dt-2\int_0^\infty\frac{\ln(t)}{t^2+1}dt$$ olur. Bu da integralin ikinci kisminin sifir olmasi gerektigini verir: $$\int_0^\infty\frac{\ln(t)}{t^2+1}dt=0.$$ Demek ki verdigin integral $$\int_0^\infty\frac{\ln (x^2+1)}{x^2+1}dx$$ olur. $u=\arctan x$ dersek integralimiz $$-2\int_0^{\pi/2}\ln(\cos u)du$$ olur.
$u= \pi/2-x$ donusumunu uygularsak $$I=\int_0^{\pi/2}\ln\cos(x)dx=\int_0^{\pi/2}\ln\sin(x)dx$$ olur. Daha sonra $$I=\int_0^{\pi/2}\ln\left(2\cos\left(\frac{x}{2}\right)\sin\left(\frac{x}{2}\right)\right)dx$$$$=\frac{\pi}{2}\ln2+\int_0^{\pi2}\ln\left(\cos\left(\frac{x}{2}\right)\right)dx+\int_0^{\pi/2}\ln\left(\sin\left(\frac{x}{2}\right)\right)dx$$$$=\frac{\pi}{2}\ln2+2\left(\int_0^{\pi/4}\ln\left(\cos(x)\right)dx+\int_0^{\pi/4}\ln\left(\sin(x)\right)dx\right)$$ $$=\frac{\pi}{2}\ln2+2I$$ olur. Son kisimma $\sin(\pi/4-a)=\cos(\pi/4+a)$ oldugunu gormek yeterli. Bu da bize integral degerinin $$\pi\ln2$$ oldugunu verir.