Sorudaki "Örnek $\ldots$" diye başlayan cümleye bir yanıt vereyim.
Matematik, tümdengelimsel bir bilimdir. Dolayısıyla matematikte bir alanda çalışırken o alana dair bazı varsayımlarda bulunuruz. Bu varsayımlara da aksiyom deriz. Mesela, Gerçel Sayı Sisteminden bahsederken bu linkte yer alan 17 tane (yaklaşıma göre bu sayı değişebilir) önermeyi aksiyom olarak ele alırız. Bu aksiyomlardan hareketle de $$-(-x)=x\ldots (1),$$$$0\cdot x=0\ldots (2),$$$$(-1)\cdot x=-x\ldots (3),$$$$x^2\geq 0\ldots (4),$$$$x\leq y\Rightarrow -y\leq -x\ldots (5)$$ vb. birçok sonuç çıkarırız. $(1),(2),(3),(4),(5)$ nolu bilgiler ilgili linkte yer alan $17$ aksiyomdan hareketle elde edilebildiği için bu $(1),(2),(3),(4),(5)$ nolu bilgileri sisteme aksiyom olarak dahil etmeye gerek yoktur.
Mantık alanında da benzer şekilde aşağıdaki varsayımlarda bulunarak birçok çıkarımda bulunuruz.$$1\rightarrow 1\equiv 1\ldots (5)$$$$1\rightarrow 0\equiv 0\ldots (6)$$$$0\rightarrow 1\equiv 1\ldots (7)$$$$0\rightarrow 0\equiv 1\ldots (8)$$ Bu $4$ denkliğin hepsi birer aksiyomdur. Daha doğrusu bunları aksiyom olarak ele alabiliriz. Bunların hepsini aksiyom olarak ele alıp
$$\neg p$$$$p\vee q$$$$p\wedge q$$$$p\leftrightarrow q$$ (bileşik) önermelerini bu aksiyomlardan hareketle şöyle tanımlayabiliriz:
$$\neg p\equiv p\rightarrow 0$$$$p\vee q\equiv (p\rightarrow q)\rightarrow q$$$$p\wedge q\equiv \neg (\neg p\vee \neg q)$$$$p\leftrightarrow q \equiv (p\rightarrow q)\wedge (q\rightarrow p).$$
Yani $(5)-(8)$ nolu önermeleri aksiyom olarak ele aldığımızda başka varsayımlarda bulunmamıza gerek yoktur artık. Çünkü $$\neg p, \ \ p\wedge q, \ \ p\vee q \ \text{ ve } \ p\leftrightarrow q$$ önermelerini $``\rightarrow"$ bağlacı için verilen varsayımlardan hareketle tanımlayabiliyoruz.