Cebir

Question

$G$ bir grup olsun. $x,y,g\in G$  olmak üzere $x$ ve $gxg^{-1}$ elemanlarinin ve $yx, xy$ elemanlarinin mertebelerinin esit oldugunu gosteriniz.

Comments

sorulariniza neler yaptiginizi da ekleyiniz lutfen. 

---

$x^t=e$ olacak sekilde $t$ pozitif tamsayisi vardir. 

$o(x)=o(gxg^{-1})$ olur. $x=gxg^{-1}$ diyebilir miyiz?  

---

Devami henuz yapamadim. Baslangic noktam dogru mu acaba?

---

Göstermen gereken şey $o(x) = o(gxg^{-1})$ ama sen onunla başlamışsın kanıta. 

---

Peki nasil baslamaliyim

---

$o(x) = m$  ve  $o(gxg^{-1})=n$ de, olacaklara bak.

Answer 1

$x,y\in G$ için $o(xy)=m$ ve $o(yx)=n$ olsun. Eğer $m\mid n$ ve $n\mid m$ olduğunu söyleyebilirsek mertebelerin pozitif tamsayı olmasından $m=n$ diyebileceğiz. $(yx)^{n}=yxyx\ldots yx=e$, burada $e$ grubun birimini gösteriyor. Eşitliği soldan $x$ sağdan $y$ ile çarpalım. Buradan $(xy)^{n+1}=xy$ ve $(xy)^{n}=e$ elde edilir ve $o(xy)=m$ olduğundan $m\mid n$. Benzer işlemler tekrar edildiğinde $n\mid m$ bulmak mümkündür. Böylece $o(xy)=o(yx)$.