$p_1 , p_2 , . . . , p_n$ asal sayıları ve $\alpha_1 , \alpha_2 , . . . , \alpha_n$ pozitif tamsayıları için aritmetiğin temel teoremini kullanarak $ n = p_{1}^{\alpha_1} \cdot p_{2}^{\alpha_2} \cdots p_{n}^{\alpha_n}$ olduğunu varsayabiliriz. Her bir $p_{i}^{\alpha_i}$ aralarında asal olduğundan ve $\phi$ fonksiyonu çarpımsal olduğundan, biraz hesaplarsak:
$\phi(n) = \phi(p_{1}^{\alpha_1} \cdot p_{2}^{\alpha_2} \cdots p_{n}^{\alpha_n}) = \phi(p_{1}^{\alpha_1}) \cdot \phi(p_{2}^{\alpha_2}) \cdots \phi(p_{n}^{\alpha_n})$
buluruz. Ayrıca kanıtlanabilir ki : $\phi(p_{i}^{\alpha_i}) = p_{i}^{\alpha_i} - p_{i}^{\alpha_i - 1}$ .
O halde,
$\phi(n) = \phi(p_{1}^{\alpha_1}) \cdot \phi(p_{2}^{\alpha_2}) \cdots \phi(p_{n}^{\alpha_n}) =(p_{1}^{\alpha_1} - p_{1}^{\alpha_1 - 1}) \cdot (p_{2}^{\alpha_2} - p_{2}^{\alpha_2 - 1}) \cdots (p_{n}^{\alpha_n} - p_{n}^{\alpha_n - 1})$
elde ederiz. Her bir $p_i$ tek sayı olduğundan, her bir $p_i$'nin bir kuvveti de tek sayıdır. Her bir parantez içinde iki tek sayıyıdan küçüğü büyüğünden çıkardığımızdan, bir pozitif çift sayı buluruz. Sonlu tane pozitif çift sayının çarpımı da pozitif çift sayıdır. Her bir $p_i$'nin tek sayi olmadigi durumda ise ancak bir tanesi $2$ olabilir. Bu durumda parantez icindeki ifade yine cift olur. Yalnizca bir tane $p$ olup onun da 2 olma durumu ise varsayimla celisiyor.