$p_1,\cdots, p_r$ farkli asal sayilar ve $e_1,\cdots,e_r$ da pozitif tam sayilar olmak uzere $$n=p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r}$$ olsun.
Soru: $n=a\cdot b \cdot c$ olacak sekilde kac farkli $(a,b,c)$ pozitif tam sayi uclusu vardir?
Cevap: $$\frac{(e_1+1)(e_1+2)}{2} \cdots \frac{(e_r+1)(e_r+2)}{2}.$$
Dikkat ettiyseniz sadece usler ile ilgisi var.
Ornek 1: $n=5$ olsun.
$a=5$ icin $b=1$ ve dolayisi ile $c=1$ (yani $b$ sayisi $5/5=1$'in bir tam boleni ve $c$ de bu bolene karsilik gelen sayi)
$a=1$ icin $b=5$ ve dolayisi ile $c=1$ ya da $b=1$ ve dolayisiyla $c=5$. (Burada da $5/1=5$'in bolenleri ile ilgilenmis olduk).
Toplamda $1+2$ yani $3$ tane uclu bulduk. Formule bakarsak $5=5^1$ oldugundan $$\frac{(1+1)(1+2)}2$$ gercekten de bu degere esit olur.
Cikarim 1: $n$ asal sayi olsun. Bu durumda $3$ tane bu sekilde iclu olur. $$(n,1,1), \;\; (1,n,1), \;\; (1,1,n).$$
Ornek 2: $n=6$ olsun.
$a=1$ icin $bc=6$ olmali ve her $b$ icin biricik $c$ geleceginden bu sekilde $6$'nin pozitif tam bolenleri kadar uclu gelir. Bunlar da $$(1,1,6),\;\; (1,2,3),\;\; (1,3,2),\;\; (1,6,1).$$
$a=2$ icin $bc=3$ olmali ve her $b$ icin biricik $c$ geleceginden bu sekilde $6$'nin pozitif tam bolenleri kadar uclu gelir. Bunlar da $$(2,1,3),\;\; (2,3,1).$$
$a=3$ icin $bc=2$ olmali ve her $b$ icin biricik $c$ geleceginden bu sekilde $6$'nin pozitif tam bolenleri kadar uclu gelir. Bunlar da $$(3,1,2),\;\; (3,2,1).$$
$a=6$ icin $bc=1$ olmali ve her $b$ icin biricik $c$ geleceginden bu sekilde $6$'nin pozitif tam bolenleri kadar uclu gelir. Bunlar da $$(6,1,1).$$
Toplamda $4+2+2+1=9$ tane uclu elde ettik ve $n=2^13^1$ oldugundan $$\frac{(1+1)(1+2)}{2}\frac{(1+1)(1+2)}2=3\cdot3=9$$ olur.
Yaptigimiz: $n$ sayisinin tum pozitif bolenlerinin pozitif bolen sayilarini bulup bunlari toplamak...
$n$ sayisinin pozitif bolenleri biricik sekilde $$p_1^{f_1}\cdots p_r^{f_r}$$ formlari ile eslesir, her $1\le i \le r$ icin $0 \le f_i \le e_r$. Bu sekilde bir formun pozitif bolenleri sayisi $$(f_1+1)\cdots (f_r+1)$$ olur. Biz bunlarin hepsini toplarsak $$\sum_{\begin{matrix} 1 \le i \le r \\ 0 \le f_i \le e_i \end{matrix}} (f_i+1)\cdots (f_r+1)$$ olur. Her carpan birbirinden bagimsiz oldugundan bunu $$\prod_{i=1}^r\sum_{f_i=0}^{e_i}(f_i+1)$$ olarak yazabiliriz. Dikkat ettiysenin ic toplam $1$'den $e_i+1$'e kadar olan tam sayilarin toplami. Bu nedenle istedigimiz sayi $$\prod_{i=1}^r\frac{(e_i+1)(e_i+2)}{2}$$ olur.
Ornek 3: $n=360=2^33^25$ icin istenilen sayi $$\frac{4\cdot5}{2}\frac{3\cdot4}2\frac{2\cdot3}2=180$$ olur.
Son cikarim: Eger pozitiflik sartini kaldirirsak,
$+++$
$+--$
$-+-$
$--+$
olarak her uclu icin $4$ olasi uclu gelir ve bunun disinda da gelmez. Bu nedenle bu durumda pozitif sartinin $4$ kati kadar uclu elde ederiz.