Küme Aileleri

Question

$X\neq \emptyset$ küme olmak üzere

$$\mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2\subset \mathcal{P}(X)\Rightarrow (\cap\mathcal{A}_1)\cap (\cap\mathcal{A}_2)=\cap(\mathcal{A}_1\cap \mathcal{A}_2)$$

$$\mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2\subset \mathcal{P}(X)\Rightarrow (\cap\mathcal{A}_1)\cap (\cap\mathcal{A}_2)=\cap(\mathcal{A}_1\cup \mathcal{A}_2)$$

önermeleri doğru mudur? Cevabınızı kanıtlayınız.

Comments

Ikinci ifade doğru değil ama ilk ifade doğru. 

---

Bence tam tersi.

---

Karşıt örnek vererek ikinci ifadenin yanlışlığını görebilirsiniz. 

---

Ben aksine örnek vererek birinci ifadenin yanlışlığını göstereyim. Şöyle ki:

$\mathbb{R}$'de çalışalım. $\mathcal{A}_1=\{\{1,2\},\{2,3\}\}$ ve $\mathcal{A}_2=\{\{2,3\},\{3,4\}\}$ olsun. $\cap\mathcal{A}_1=\cap\{\{1,2\},\{2,3\}\}=\{2\}, \,\ \cap\mathcal{A}_2=\cap\{\{2,3\},\{3,4\}\}=\{3\}$ ve $(\cap\mathcal{A}_1)\cap(\cap\mathcal{A}_2)=\{2\}\cap\{3\}=\emptyset$ olur. Fakat $$\mathcal{A}_1\cap\mathcal{A}_2=\{\{2,3\}\}$$ ve $$\cap (\mathcal{A}_1\cap\mathcal{A}_2)=\{2,3\}$$ olduğundan

$$\cap (\mathcal{A}_1\cap\mathcal{A}_2)=\emptyset \neq \{2,3\}=(\cap\mathcal{A}_1)\cap(\cap\mathcal{A}_2).$$

Dolayısıyla birinci önerme yanlış. Benim merak ettiğim ikincinin doğru olduğunu nasıl gösterebileceğimiz.

---

Verdiğiniz örnek ikinci ifadeyi doğruluyor mu?

---

Evet doğrulamıyor. Sorumu şöyle revize edeyim. 

$(X,\tau)$ topolojik uzay, $\mathcal{A}_1$ ve $\mathcal{A}_2$ aileleri $X$ kümesinin açık örtüleri olmak üzere

$$(\cap\mathcal{A}_1)\cap(\cap\mathcal{A}_2)=\cap(\mathcal{A}_1\cup \mathcal{A}_2)$$ önermesi doğru mudur?

---

"Verdiğiniz örnek ikinci ifadeyi doğruluyor mu?" şeklindeki sorunuzu "evet doğrulamıyor" demişim ama şimdi tekrar baktığımda doğru olduğunu fark ettim. Ben mi gözden bir şey kaçırıyorum?

---

Merhaba Murad Bey. O zaman ne düşünmüştüm hatırlayamadım ama, acaba şöyle bir örnek verebilir miyiz? 

$X=\Bbb{Z}$ tamsayılar kümesi, $A_{1}=\{2\Bbb{Z},~3\Bbb{Z}\}$ ve $A_{2}=\{\{0\}, 2\Bbb{Z}\}$ olsun. İkinci ifadenin sol yanı $\{0\}$ ve sağ yanı ise $2\Bbb{Z}\cup 3\Bbb{Z}$ çıkar. Kontrol lütfen. 

---

Merhaba Handan hanım.

$\left.\begin{array}{rr} \mathcal{A}_1=\{2\mathbb{Z},3\mathbb{Z}\}\\ \mathcal{A}_2=\{\{0\},2\mathbb{Z}\}\end{array}\right\}\Rightarrow \mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2=\{\{0\},2\mathbb{Z},3\mathbb{Z}\}\Rightarrow \cap(\mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2)=\{0\}$ olur ve sol tarafa eşit çıkar. Örnek, söz konusu eşitliği sadece destekliyor. Yani aksine örnek olmuyor.

---

$A_{1}\cup A_{2}$' de $\{0\}$ var mı?

---

Evet. Var.          

---

Bu ifade doğrumuymuş. Bu durumda onu ispat etmeye çalışalım. Ama benim hissettiğim doğru değil!

---

Buradaki linke bir cevap ekledim. İspata yönelik görüşleriniz?

---

$0$ en az birine ait olduğundan $\{0\}$ birleşime ait olur mu demek istemiştim.

Answer 1

Yorumlardan da görüldüğü üzere $1.$ önerme yanlış ikincisi ise doğrudur. $2.$ önermenin doğru olduğunu şöyle ispatlayabiliriz:

$$\left.\begin{array}{ccc}\mathcal{A}_1\subseteq \mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2\Rightarrow \cap(\mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2)\subseteq\cap \mathcal{A}_1 \\ \mathcal{A}_2\subseteq \mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2\Rightarrow \cap(\mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2)\subseteq\cap \mathcal{A}_2 \end{array}\right\}\Rightarrow\cap(\mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2)\subseteq (\cap \mathcal{A}_1)\cap(\cap \mathcal{A}_2)\ldots (1)$$

$$x\in (\cap \mathcal{A}_1)\cap(\cap \mathcal{A}_2)$$

$$\Rightarrow$$

$$(x\in (\cap \mathcal{A}_1))(x\in (\cap \mathcal{A}_1))$$

$$\Rightarrow$$

$$(\forall A_1\in\mathcal{A}_1)(x\in A_1)(\forall A_2\in\mathcal{A}_2)(x\in A_2)$$

$$\Rightarrow$$

$$(\forall A\in\mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2)(x\in A)$$

$$\Rightarrow$$

$$x\in \cap (\mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2)\ldots (2)$$

O halde

$$(1),(2)\Rightarrow \cap (\mathcal{A}_1\cup\mathcal{A}_2)=(\cap \mathcal{A}_1)\cap(\cap \mathcal{A}_2)$$

elde edilir.