Denklem Sistemleri

Question

$\sqrt{\frac{x+2}{x-1}}+2*\sqrt{\frac{x-1}{x+2}}+3=0$ denkleminin çözüm kümesi nedir ?

$\sqrt{\frac{x+2}{x-1}}$'ye $a$ diyip çözmeye çalıştım ama sonuca ulaşamadım cevap boş kümeymiş neden boş küme olduğunu anlayamadım.

Comments

$a$ degerleri negtif geliyor fakat $a$ dedigin koklu ifade, negatif olmaz.

---

yani kökler imajiner çıktığı için boş küme mi ?

---

Eger gercel sayi ise $x$ evet.

Eger kompleks sayilar ise 

Esitliklerin karesini alarak devam etmelisin (edebiliriz):  $$\frac{x+2}{x-1}=1 \text{ ya da } 4$$ olmali.  ilkinden sonuc gelmez, ikincisinden $x=2$ gelir. Fakat $x=2$ icin $$\sqrt{\frac{x+2}{x-1}}=2 \ne -2 $$ olur.

Bu durumda da cevap gelmez fakat sonucu bu sekilde gostermemiz gerekir.

---

teşekkürler hocam.

---

Doğru yapmışsın aslında.

$a$ dedikten sonra önümüze

$a+2/a+3=0$ eşitliği geliyor.

Daha sonra payda eşitleyince 

$a^2+3a+2=0$ geliyor.Buradan $a=-2,-1$ geliyor.

Fakat köklü ifade $-$'li çıkamayacağı için kök olmuyor.Yaptığın $a$ işleminde bir yanlışlık göremedim.

---

ilkine $a$ dedikten sonra ikinci köklü ifadeyi $a$ türünden nasıl yazarım onu bulamadım aslında :D

---

Ortak kök olduğundan biraz karışık gözüküyor ama,

$\frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x-1}}=a$ de daha kolay gözüküyor diğerinin $2/a$ olduğu :D

---

@Sercan Kompleks sayılarla oynarken dikkat etmek gerekiyor. Karekök alırken bir branch cut belirlemelisin. İşleminin sonucu da bu branch cut'a bağlı olarak değişir.

---

$w:=\sqrt{\frac{x+2}{x-1}}$ (iki secenek var) dersek ve $z=\frac{x+2}{x-1}$ (tek secenek var) dersek $w=\sqrt{z}$ olur. Buradan $z=w^2$ olur. (iki $w$ secenegi icin). 

Fakat soruda $w$'larin tek secenegi icin ugrasiyoruz. Bu nedenle bir sorun yok (gibi). 

Ben karmasik analizi pek bilmiyorum. Biraz daha acabilir misin? Buraya agir gelirse, (istersen) ek soru olarak da yazabilirsin, iyi olur, ogrenmis olurum. Bir de Rudin disinda baska kitap onerim var midir, iyi anlatan? (Hazir konusu acilmisken).