Önce $OBEB(55,10)=?$ sorusuna cevap verelim. Sanıyorum bunu ilk okulda öğrendiğimiz yolla (yani iki sayıyı yan yana yazıp sağa bir dikey çizgi çekip, ortak asal bölenleri işaretleyip sonra bunları çarparak ) bulabiliriz. Aslında aynı kapıya çıkan Öklid algoritması(bölme algoritması) yolu ile de yapıldığını biliyoruz. Biz ikincisi tercih edelim.
Diyelim ki cevabını aradığımız $OBEB(55,10) =a$ olsun. Bir defa bu $a\in Z^+$ dır. Yani $a$ sayısı $55$'i ve $10$'u bölen en büyük tam sayıdır. O zaman $OBEB(10+10+10+10+10+5,10)=a$ olduğundan, ve $a$ sayısı $10$'u tam böldüğünden $5$'i de tam bölmelik ki $55$'i de bölsün. Demek ki $OBEB(55,10)=OBEB(55-5.10,10)=OBEB(5,10)=a$ olmak zorundadır. Benzer olarak bu seferde $OBEB(5,10-2.5)=OBEB(5,0)=a$ olacaktır. Demek ki $OBEB(55,10)=5$ dir.Yani büyük olan sayının içinde küçük olan sayı kaç kez varsa onu atıyoruz kalan da bölünmeli mantığı ile hareket ediyoruz.
Bu yaklaşımı anladığını umuyorum. Şimdi bu yaklaşımı sizin soruya uygulayalım.
$\frac{7n-5}{6n-5}$ kesri sadeleşebilir ise, $7n-5$ ile $6n-5$ sayılarını ortak bölen sayılar var demektir. Hatta bu bölenlerin bir de en büyüğü vardır. Kesrin sadeleştiği sayıların,OBEB olan sayının tam bölenleri olduğunu unutmamalıyız. Şimdi yukardaki yöntemle OBEB'i bulalım.
$OBEB(7n-5,6n-5)=OBEB(7n-5-(6n-5),6n-5)=OBEB(n,6n-5)=OBEB(n,6n-(6n-5))=OBEB(n,5)=5$ olduğunda $n=5.k,\quad k\in Z^+$ olmalıdır. Dolayısıyla $n\in\{5,10,15,20,25,30,35,40,45,50\}$ olmalıdır.