Cevâbı buldum sanırım. Anladığım şekliyle çözümünü vereyim. Aşağıdaki şekil faydalı olacaktır.
Şekilden görüldüğü üzere tarama açısına bağlı olan kısmın $\theta-\varphi$ dilimi olduğu açık. Bu bölgenin alanı ise $$D=\frac{\pi(R^2+r^2)(\theta-\varphi)}{2\pi}=\frac{(R^2+r^2)(\theta-\varphi)}{2}$$dir. Diğer iki bölgenin alanı da kolay. İlkinin alanı, $$Ü_1=\frac{rR}{2}$$ diğerinin alanı ise, $$Ü_2=\frac{(R^2+r^2)\varphi-rR}{2}$$dir. Bunları toplarsak;
$$A(\theta; R, r)=\frac{rR}{2}+\frac{(R^2+r^2)\varphi-rR}{2}+\frac{(R^2+r^2)(\theta-\varphi)}{2}=\frac{R^2+r^2}{2}\theta$$ bulunur. Bu sonuç $\theta=2\pi$'nin büyük dâirenin alanını vermesiyle kontrol edilebilir.
Burada ilk bakışta açık olmayan tek nokta, $r$ uzunluklu kısmın ucunun bir dâire çizmesi olabilir. Yâni, sonuçta iki eşeksenli dâirenin varlığını göstermek gerekebilir. Bu da kolay; biraz analitik geometri kullanacağız:
Bu noktanın koordinatları şöyle bulunabilir (burada bâzı adımlar atlanmış olabilir, kusûruma bakmayın): $$\vec r=\left(R\sin\left(\frac{\pi+\theta}{4}\right)+r\sin\left(\frac{\pi-\theta}{4}\right)\Bigg|\,R\cos\left(\frac{\pi+\theta}{4}\right)-r\cos\left(\frac{\pi-\theta}{4}\right)\right)$$ ve $\sin$ ve $\cos$'un toplam formüllerini kullanıp toparlarsak $\gamma=\theta /4$ kısaltmasıyla, $$\frac{1}{\sqrt{2}}\left((R+r)\cos \gamma +(R-r)\sin \gamma \,\Bigg| \,(R-r)\cos\gamma -(R+r)\sin \gamma\right)$$ alınır. Bu vektörün $x$ ve $y$ bileşenleri için $x^2+y^2$ hesaplanırsa hemen $x^2+y^2=R^2+r^2=\mbox{sabit}$ bulunur. Yani bu noktanın konumu resimde çizilen büyük çemberin üzerinde olacaktır ve bu çember küçük çemberle eşmerkezlidir.
Problem çözülmüş oldu. Şimdi soruda istenen değerler kullanılarak tam sonuç yazılabilir: $R=\sqrt 3$, $r=1$ ve $\theta=90$ için
$$A(\frac{\pi}{2}; \sqrt 3, 1)=\pi$$ bulunur.