İspatlamak istediğim eşitlik;
$\forall\; r,n\in\mathbb N, \quad 0\le r \le n $
için;
$\boxed{\boxed{\dbinom{n+1}{r+1}=\displaystyle\sum_{k=r}^n\dbinom{k}{r}}}$
$\dbinom{n+1}{r+1}=\dfrac{n+1}{r+1}\dbinom{n}{r}=\displaystyle\sum_{k=r}^{n-1}\dbinom{k}{r}+\dbinom{n}{r}$ , sağdaki fazlalığı sola atıp ilerlemeyi deneyeceğim ama ondan önce küçük bir eşitliği vereyim;
Eşitlik:
$\dbinom{n+u}{r}=\left(\dfrac{n+u}{n+u-r}\right)\dbinom{n+u-1}{r}$
bu eşitliği gerekecek diye yazdım , ispatlaması çok bariz.
Devam edelim,
$\dbinom{n+1}{r+1}=\dfrac{n+1}{r+1}\dbinom{n}{r}=\displaystyle\sum_{k=r}^{n-1}\dbinom{k}{r}+\dbinom{n}{r}$
$\to$
$\left(\dfrac{n+1}{r+1}-1\right)\dbinom{n}{r}=\displaystyle\sum_{k=r}^{n-2}\dbinom{k}{r}+\dbinom{n-1}{r}$ belki düzeni keşfederiz diye , oradaki $-1$ öyle kalsın .
Verdiğim eşitlik dolayısıyla son denklemi şöyle yazayım;
$\left(\dfrac{n+1}{r+1}-1\right)\underbrace{\left(\dfrac{n}{n-r}\right)\dbinom{n-1}{r}}_{\binom{n}{r}}=\displaystyle\sum_{k=r}^{n-2}\dbinom{k}{r}+\dbinom{n-1}{r}$ tamam $-1$ den bir şey çıkmadı $\binom{n-1}r$ leri solda toplayalım ama ondan önce dikkatinizi çekiyor mu?
$\left(\dfrac{n+1}{r+1}-1\right)=\dfrac{n-r}{r+1}$ olduğundan solda bir sadeleşme olur , sadeleşmeyi yapıp $\binom{n-1}r$ 'leri solda toplayalım;
$\left(\dfrac{n-r-1}{r+1}\right)\dbinom{n-1}{r}=\displaystyle\sum_{k=r}^{n-2}\dbinom{k}{r}$
Sonra tekrar en baştaki eşitlikten yola çıkarak;
$\dbinom{n-1}{r}=\dfrac{n-1}{n-r-1}\dbinom{n-2}{r}$ olur ve yerine koyarsak;
$\left(\dfrac{n-r-1}{r+1}\right)\dfrac{n-1}{n-r-1}\dbinom{n-2}{r}=\displaystyle\sum_{k=r}^{n-3}\dbinom{k}{r}+\dbinom{n-2}{r}$
Sonra gene aynı şeyleri yapalım;
$\left(\dfrac{n-r-2}{r+1}\right)\dbinom{n-2}{r}=\displaystyle\sum_{k=r}^{n-3}\dbinom{k}{r}$
Dolayısıyla buradan da şöyle bir eşitlik gelir;
$\left(\dfrac{n-r-(u-1)}{r+1}\right)\dbinom{n-(u-1)}{r}=\displaystyle\sum_{k=r}^{n-u}\dbinom{k}{r}$
$u=n-r-1$ için doğru
$u=n-r$ için de doğru olur
$u=0,1$ için zaten doğruydu, burada tümevarımdan ,teoremin doğruluğu kanıtlanır mı?
Ek sonuç(lar):
Sonuç 1:$\dbinom{n+u}{r}=\left(\dfrac{n+u}{n+u-r}\right)\dbinom{n+u-1}{r}$ bu eşitliği düzenlersek;
$\boxed{\boxed{\dfrac{n+u-r}{n+u}=\dfrac{\binom{n+u-1}{r}}{\binom{n+u}{r}}}}$ bulunur.
Sonuç 2:$\left(\dfrac{n-r-a}{r+1}\right)\dbinom{n-a}{r}=\displaystyle\sum_{k=r}^{n-a-1}\dbinom{k}{r}$ eşitliği düzenlersek;
$\boxed{\boxed{\left(\dfrac{n-r-a}{r+1}\right)=\dfrac{\displaystyle\sum_{k=r}^{n-a-1}\dbinom{k}{r}}{\dbinom{n-a}{r}}}}$