Kütle çekim kuvveti merkezkaç kuvvetine eşit olursa o zaman uydu yörüngede kalabilir . o zaman $F_{kütleçekim}=F_{merkezkaç}$ denkliğini yazabiliriz .
Bu durumda :
$(1)$ $F_k=G\dfrac{m_1M}{d^{2}}$
$(2)$ $F_m=m\;\omega^2\;d$
1. ve 2. denklemlerin eşitliğini kullanarak $\omega$ ile ilgili bir eşitlik çıkartırız o da :
$\omega^2=\frac{G.M}{d^3}$ olarak buluruz . ...
$\omega^2=\frac{4.\pi^2}{T^2}$ ise iki ifadeyi eşitleyip gerekli sadeleştirmeleri yaparsak :
$T^2=\frac{4\pi^2.d^3}{GM}$
$T=2\pi.\sqrt\frac{d^3}{G.M}$ olarak buluruz . Bir kaç denklem önce de ayrıyetten Kepler'in $\frac{Rˆ3}{Tˆ2}$ sabitinide gösterebiliriz . Buradan hareketle yoğunluğa bağlı olduğunu gösterelim .
$\rho=\frac{M}{V}$ dersek ve $V=\frac{4}{3}\pi.R^3$ olarak düşünürsek ve Periyot denkleminde $M$ yerine
$\rho.V = \rho.\frac{4}{3}\pi.R^3$
yazarsak denklemin son hali
$T=2\pi.\sqrt\frac{d^3}{G\rho\frac{4}{3}\pi R^3}$
olarak yazabiliriz .
(Uydu $\omega$ açısal hızı ile dolanmakta ve Merkezdeki cisim düzgün küresel olarak kabul edilmiştir. Merkezdeki cismin yarıçapı R ve uydu merkez arası uzaklık d olarak belirtilmiştir.) $K=\frac{4}{3}\pi . G $ olarak sabitleri birleştirirsek. En sade hal olarak
$\boxed{\boxed{T=2\pi\sqrt{\dfrac{d^3}{K.\rho.R^3}}=2\pi \;d\;\sqrt{\dfrac{d}{K\rho R^3}}}}$ sadeleştirebiliriz .
Eksik veya hatalı kısımlar varsa lütfen elesirin .