Topolojik Uzaylarda Baz-II

Question

$(X,\tau)$ topolojik uzay olmak üzere

$$\mathcal{B}:=\left\{A\big{|}A\subseteq\overset{\circ}{\overline{A}}\right\}\subseteq 2^X$$ ailesi, $X$ kümesi üzerindeki bir topoloji için her zaman baz mıdır? Cevabınızı kanıtlayınız.

Answer 1

$\mathbb{R}$ üzerinde  $\tau=\{A|A^t$ $\text{sonlu}\}\cup\{\emptyset\}$ topolojisini ele alalım.

$$\left(\overset{\circ}{\overline{\mathbb{N}}}=\mathbb{R}\right)\left(\mathbb{N}\subseteq\mathbb{R}\right) \Rightarrow \mathbb{N}\in\mathcal{B}$$

$$\left(\overset{\circ}{\overline{(0,1]}}=\mathbb{R}\right)\left((0,1]\subseteq\mathbb{R}\right) \Rightarrow (0,1]\in\mathcal{B}$$

fakat

$$\mathbb{N}\cap(0,1]=\{1\}$$

ve

$$\left(\overset{\circ}{\overline{\{1\}}}=\emptyset\right)\left(\{1\}\nsubseteq\emptyset\right) \Rightarrow \{1\}\notin\mathcal{B}$$

olduğundan

$$\cup\mathcal{A}=\{1\}$$

olacak şekilde

$$\mathcal{A}\subseteq\mathcal{B}$$

yoktur.

O halde  $\mathcal{B}:=\left\{A\big{|}A\subseteq\overset{\circ}{\overline{A}}\right\}$  ailesi $X$ üzerinde bir topoloji için her zaman baz olamaz.

Comments

Gayet güzel. Açık ve net. Açtığın parantezin önüne \left, kapadığın parantezin önüne de \right yazarsan parantezler, parantezin içinde yazılı olan ifadeye göre otomatik olarak büyür.             

---

Bilgilendirme için teşekkürler hocam, düzenledim.

---

sonlu yerine \text{sonlu} yazarsan o da güzelleşir.

---

tekrar düzenledim:-)