Topolojik Uzaylarda Baz-V

Question

$(X,\tau)$ topolojik uzay olmak üzere

$$\mathcal{B}:=\left\{A\big{|}A\subseteq \overline{\overset{\circ}{\overline{A}}}\right\}\subseteq 2^X$$ ailesi, $X$ kümesi üzerinde bir topoloji için her zaman baz mıdır? Cevabınızı kanıtlayınız.

Answer 1

$X=\{a,b,c\} \,\ \text{ ve } \,\ \tau=\{\emptyset,X,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}$ olmak üzere

$$\mathcal{B}:=\left\{A|A\subseteq \overline{\overset{\circ}{\overline{A}}} \right\}=2^X\setminus \{\{c\}\}$$ olur. Bu aile ise $X$ kümesi üzerindeki bir topoloji için baz olamaz. Çünkü $$\{a,c\},\{b,c\}\in\mathcal{B}$$ fakat $$\{a,c\}\cap \{b,c\}=\{c\}=\cup\mathcal{A}$$ olacak şekilde $$\mathcal{A}\subseteq\mathcal{B}$$ yoktur.

Comments

Ayrıca $\{a,c\},\{b,c\}\in\mathcal{B}$ fakat $\{a,c\},\{b,c\}\notin\tau$ olduğundan baz olmanın başlangıç koşulu da ($\mathcal{B}\subset\tau$) sağlanmaz.

---

$\tau$ topolojisi için değil, $X$ kümesi üzerindeki bir topoloji için baz mıdır diyor soru. Dikkat et.

---

Haklısınız hocam atladım hemen incelemeden, pardon.