Soru:
$a_0,a_1$ terimleri belli olan $a_{n+1}=ua_n+va_{n-1}$ dizisini tanımlayalım;
Eğer $(a_n)_n$ yakınsak ise ve limiti $0$'dan farklı ise;
$u,v$ sayılarına bağlı hangi bilgileri elde edebiliriz?
Çabam 1:
$(a_n)_n$ , $L$ 'ye yakınsasın, tanım gereği;
$\epsilon>0$ verilsin ve $n\ge N(\in\mathbb N)$ olacak şekilde bir $N$ vardır ki;
$$|a_n-L|<\epsilon$$ olur.
$$a_{n+1}=ua_n+va_{n-1}\quad\to\quad \dfrac{a_{n+1}-va_{n-1}}{u}$$
Dolayısıyla;
$$|a_n-L|=\left|\dfrac{a_{n+1}-va_{n-1}}{u}-L\right|=\left|\dfrac{a_{n+1}-va_{n-1}}{u}+a_n-a_n-L\right|$$ Dolayısıyla;
$$|a_n-L|=\left|\dfrac{a_{n+1}-va_{n-1}-ua_n}{u}+a_n-L\right|\le\underbrace{\left|\dfrac{a_{n+1}-va_{n-1}-ua_n}{u}\right|}_{0}+|a_n-L|<\epsilon$$
olur, demekki;
$$\dfrac{a_{n+1}-va_{n-1}-ua_n}{u}$$ İfadesinin tanımlı olması gerek dolayısıyla, $u\neq0$
Çabam 2:
Dizilerin yakınsak tanımı kullanılarak $(a_n)_n$ için yakınsayan bir dizi için seçilen $N$ mantığını kullanarak, $(a_{n-1})_n$ dizisi için $N=N+1$ seçersek bu da yakınsar ve $N=N-1$ seçersek $(a_{n+1})_n$ de aynı $L$ sayısına yakınsar dolayısıyla;
$$\lim\limits_{n\to \infty}a_{n+1}=\lim\limits_{n\to \infty}ua_n+\lim\limits_{n\to \infty}va_{n-1}$$
Ve
$$L=uL+vL$$ gelir;
$$1=u+v$$ gelir.
$2. $ Çabamın sonucu daha kuvvetli, peki matematık mantığı ile bu yöntemlerde bir hatam var mı?