Fonksiyonlarin birebir oldugunu nasil gosterebiliriz?

Question

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı 

I.f(x)=2x-1

II.g(x)=x^2+2 

III.h(x)=x^3

fonksiyonlarından hangileri birebirdir?

A) I -II   B)Yalnız I  C) I-II-III  D)I ve III E)Yalnız II

Bu sorunun değer vermek veya grafiğini çizip yorumlamak dışında başka bir alternatif çözümü var mı ?

Comments

Tanim: $f(x)=f(y)$ olmasi $x=y$ olmasini gerektirirse $f$ birebir olur. 

(II) icin $(-2)^2+2=2^2+2$ fakat $-2\ne 2$

(I) icin $2x-1=2y-1$ ise $x=y$ olur.

(III) icin $x^3=y^3$ ise $(x-y)(x^2+xy+y^2)=0$ olur. ...

diye devami getirilebilir.

---

merhaba

bu sorunun cevabını 2 seviyede verelim

eğer 10.sınıfdan daha ileri bir matematik görmemis bir öğrencisiysen elindeki araçlar

1. değer verme farklı x değerleri daima farklı sonuçlar (y) verir mi?

2 grafik çizme . Aslında bu grafikleri tanıma da denilebilir. Doğrusal bir fonksiyon 1-1 dir. Bir parabol tepe noktasının apsisinin sağ ve solundan değer içeriyorsa 1-1 olamaz (Garip garip tanım kümeleri uydurmamak için tanım kümesi (a,b)  ve tepe apsisi olan  r bu aralıkta diyeyim )) Yılan ı herkes bilir zaten .)

eğer 12 de türev görmüşşsen artanlık azalanlıkla mevzuyu yorumlayıp şöyle diyebiliriz.
türevi aldık eğer türev daima $\geq $ 0 (ki o eşitlik çift katlı kök durumudur) ya da türev daima $ \leq 0$ oluyorsa (yine kök varsa çift kat) fonksiyon artan ya da azalandır.(türeve göre) daima artan ya da azalan fonksiyonlar bire-bir olurlar. (Bu arada polinom tipi fonksiyonlardan bahsediyoruz yoksa işler karışır)

kolay gelsin

---

Sercan hocam böyle olduğunu bilmiyordum " f(x)=f(y) olması ... vs..." çok iyiymiş..Teşk.ederim hocam ilgilendiğiniz için.

---

matbaz, hocam türevlerini aldığım zaman ve tablolarını yaptığım zaman 1.si nin tablosu daima + oluyor 2.sinin --+ old.için artan ve azalan kısımlar oluyor 3.sünde de 2x^2 nin tablosunu yaptığım zaman çift katlı kökten dolayı oda hep + oluyor o zaman şöylemi diyecem " tablo hep + ise birebirdir...?"

---

$x^3$te her zaman $+$ degil. Sifir noktasinda sifir. fakat tek noktada sifir olmasi artanligi degistirmez. Hatta $n$ noktada sifir olmasi da degistirmez. Sifir olan yerlerde parcalara ayirarak ayri ayri arttigini gosterince is halloluyor zaten.

---

Biraz aşırı genellemiş olacağım fakat, eğer bir fonksiyonda derecesi çift olan bir değişken  $x^2,x^8$ vb. varsa kesinlikle birebir değildir diyebiliriz gibi geliyor bana.

Fakat çift olan değişken yoksa birebirdir diyebileceğimiz konusunda bazı şüphelerim var.

---

Citlerde $(-1)^{2n}=1^{2n}$ oldugundan birebirlik bozulur. Teklerde ise sunu ispatlamak gerekir. $x^{tek^+}=a$ her zaman tek cozume sahiptir.

---

Saçma mı bilmiyorum fakat ben birebir olmayan tek dereceli bir fonksiyon bulamadım, düşünemedim daha doğrusu.

---

$x,x^3,x^5$  hepsi birebir.

$x^{2n+1}=y^{2n+1}$ ise ($y\ne 0$ olsun). Bu durumda $z=x/y$ icin $z^{2n+1}=1$ olmali. Bunun tek gercel cozumunun $1$ oldugunu gosterirsek $x/y=1$ yani $x=y$ gelir.

$y=0$ ise $x=0$ zaten.

---

Tek dereceli derken $a.x^{2n+1}$ kasıt galiba, yoksa $x^3-16x$ tek dereceli bir fonksiyon ve 1e1 değil. Bu arada cift dereceli  terim iceren her fonksiyon da 1e1 degildir demek dogru olmayabilir. Sonucta tanim cok net tanim kumesindeki her farkli $x_1$ ve $x_2$ icin$f(x_1)$ ≠$f(x_2)$ yani goruntuler farkli olsun diyor.eger tanim kumesini secme sansimiz varsa 1e1 olmasi icin  kendimiz ayarlariz. Mesela $R^+$ da tanimli $x^2$ gibi. Devran sorunu Sercan hoca cevaplamis,  ozetle 1.turev tabloda hep+ veya isaret degistirmeyen 0 , ya da hep- veya isaret degistirmeyen 0 ile  olursa daima artan veya azalan olur ve polinomlarda 1e1 olur. Burda tabi hemen insanin aklina su soru geliyor.turev tablosu dedigimiz gibi olup polinom tipi disindaki fonksiyonlarda durum boyle mi yani 1e1 mi? “Uc harflilere” bir bakmani tavsiye ederek iyi calismalar diliyorum

---

Yorumlarınız için teşekkürler.