Üçgensel bölgelerin alanları arasında bir fark var mı?

Question

Dik koordinat sisteminde;

1) $x\geq 0,y\geq 0,x+y\leq2$ eşitsizliklerine uyan bölgenin alanı $s_1$,

2) $x\geq 0,y\geq 0,x+y<2 $ eşitsizliklerine uyan bölgenin alanı $s_2$,

3)$x > 0,y> 0,x+y < 2$ eşitsizliklerine uyan bölgenin alanı $s_3$ olsun. 

Acaba $s_1=s_2=s_3=2$ diyebilir miyiz?

Orta öğretim kaynaklarda, bir üçgenin alanı: iç bölgesi ile üçgenin bileşimi olarak tanımlanıyor. Böyle olunca $s_1<s_2<s_3$ olması gerekir. Bu farkın dahil olmayan kenarlardaki doğru parçalarının alanları ile ilgili olduğunu düşünüyorum. Oysa bir çok yerde ve soruda bu ayrıntılara önemsiz muamelesi yapılıyor. Aslında renkli bir grafikle soru çok daha iyi anlaşılacaktır. Fakat grafik çizim programlarını,daha amaçlarım için iyi kullanamıyorum. Konuya ilişkin görüşleri merak ediyorum. Teşekkürler.

Comments

çizginin varlığı önemsenmiyor doğrudur hocam.peki kenar çizgilerin alanını nasıl bulabiliriz ?

---

"bir üçgenin alanı: iç bölgesi ile üçgenin bileşimi olarak tanımlanıyor." bu tanimi cok anlayamadim hocam.

Once tanimi anlayalim ki, uzerine islem yapabilelim. Bu manada soruyorum.

---

         Düzlemde alan denildiğinde; genel olarak kapalı kırık çizgiler ya da  bir eğri tarafından sınırlanmış düzlem parçasını düşünürüz. Bu düzlem parçasına karşılık gelen sayıya da (hesaplanabilir olup olmadığına bakmadan) o bölgenin alanı diyoruz. İşte bu hesaplamada sınırı oluşturan kırık çizgilerin ( ya da eğrinin) hesaplanan değer içerisinde yer alıp almadığına hemen hiç bir yerde değinilmiyor. 

       Aktif olarak hocalık yaptığım yıllarda bir ders kitabında üçgenin alanı;iç bölgesi ile üçgenin bileşimi olan bölgedir şeklinde bir tanımlama okuduğumu hatırlıyorum.Tabii aradan çok zaman geçtiği için hangi kitaptı bulamadım. MEB sağ olsun hemen her yıl ders kitaplarını ve müfredatlarının bir kısmını değiştiriyor.

         İncelediğinizde de göreceksiniz ki MEB. nın yeni ders kitaplarında üçgenin alanı başlığı altında alan tanımı yapılmıyor,alanın nasıl hesaplanacağı anlatılıyor.

        Zaten üçgen tanımı; "Düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan üç noktayı ardışık olarak birleştiren üç doğru parçasının bileşimi olan noktalar kümesidir." olarak yapıldığından, bu tanıma göre üçgenin alanı söz konusu olmaz, ya da sıfırdır.Çünkü kaynaklarda doğru parçası alansız kabul ediliyor. Ya da bunlara hiç değinilmiyor.

         Böyle olunca soruda $s_1$ den söz edebiliriz,fakat $s_3$ ten söz edebilir miyiz bilmiyorum. Çünkü bir sınırlama söz konusu değil! Dolayısıyla da $s_1\neq s_2\neq s_3$ gibi düşünmek ne kadar yanlış olur?

         Son olarak herhangi bir sınırlı bölgenin NOKTA'lardan oluştuğunu düşündüğümüzde durum biraz daha bana göre netleşiyor sanki.Ancak NOKTA'nın alansızlığını düşünenler için bilmiyorum? 

---

Alan aksiyomlari ile dikdortgen hesaplamasi yapalim. Sonra dikdortgen limitleri ile alan tanimlayalim. (burada dikdortgenin dis cevresi de dahil). Sonra "has olmayan integral" ile bunu biraz genisletelim (burada dahil olmak zorunda degil). Buna gore ucu de esit olur.

---

Ben matkafasi nda (bulamadım, galiba bir yorumda) sürekli bir fonksiyonun, kapalı ve sınırlı bir aralıktaki grafiğinin alanının 0 olduğunu ispatlamıştım. Onu kullanarak bu üç sayının eşit olduğu çıkar. Alanı tanımlamadan, sadece bazı şekillerin alan formülleri ile bu sayıların eşitliğini gösteremeyiz. Alanın tanımı olmadan, (sahip olduğunu varsayacağımız) özellikleri de işimizi görür, ben o ispatı özellikleri ile yapmıştım.

---

Doğan hocam teşekkürler. Eğer bahsettiğiniz o ispatı bulabilirseniz ki bende arayacağım, çok iyi olur.  

Answer 1

$B:$ kenarlar ve içi dahil (herhangi bir) üçgensel bölge, $A:$  aynı üçgenin sadece iç noktalarından oluşan bölge olsun. $A$ nın ve $B$ nin alanlarını eşit olduğunu gösterelim.

$A\subset B$ olur.

Herhangi bir $0<r<1$ sayısı seçelim.

$B$ nin içine  benzerlik oranı $r$ olan (tüm köşeleri $A$ kümesinde, yani $B$ nin iç noktası, olan) bir $C$ üçgeni çizelim. ($A$ üçgenini ağırlık merkezine doğru sıkıştırarak $C$ yi oluşturabiliriz). $C$ nin kenarları ve içi $A$ nın bir alt kümesidir.

Öyleyse: $C$ nin alanı$\leq A$ nin alanı$\leq B$ nın alanı olur.

$C$ nin alanı$=r^2s$ olduğundan, 

$r^2s\leq A$ nin alanı$\leq s$  olur. Bu eşitsizlik her $0<r<1$ için doğru olduğundan, (gerçel sayıların özelliklerinden)  $A$ nın alanı$=s=B$ nin alanı elde edilir.

Comments

Hocam öncelikle kafa yorup, emek verip zaman ayırdığınız için çok teşekkür ederim.

 $A\subset B$ ile $A\subseteq B$  arasındaki anlam farkı dikkate alındığında, siz "$A\subset B$ olur" diyerek "A nın alanı küçük B'nin alanı" olduğunu kabul etmiş olmuyor musunuz?. Aynı düşünüşle daha sonra "C'nin alanı küçük A'nın alanı " olmalıyken  siz, "C'nin alanı küçük eşit A'nın alanı küçük eşit B'nin alanı" demişsiniz.  Neden $<$ yerine $\leq$ işaretini kullandınız? Sanıyorum işin asıl önemli kısmı burası. Bir de $s$ ile $A$'nın mı yoksa $B$'nin mi alanı kastedildi acaba?

---

$A\subseteq B$ yerine $A\subset B$ yazmamın esas nedeni $A\neq B$ oluşunun aşikar olması idi (diğeri de $\LaTeX$ de klavye ile $A\subset B$ yazmanın daha kolay oluşu!).

Öyle olmasına karşın $A$ nın alanı$\leq B$ nin alanı yazmamın nedeni ise yorumda da belirttiğim gibi (geometride) alan tanımlanmaz, sadece bazı alan formülleri vardır. Bazı analiz kitalarında da integral ile alan hesaplamadan önce (yine tanımlanmaz ama) hiç olmazsa  "özellikleri" (bunlara aksiyom diyebiliriz) belirtilir. Geometride bunlar (genellikle) açıkça belirtilmeden kullanılır. Bunlardan biri de (boş olmayan) bir şeklin (bölgenin) alanının "negatif olamayacağı"dır, ama sıfır olabilir (en azından tek noktanın alanına sıfır dediğimizde itiraz eden olacağını sanmıyorum). Ayrıca ayrık kümelerin birleşimini alanının parçalarının alanları toplamı olduğu kabul edilir. 

O nedenle(genel olarak) $A\subset B$ iken sadece $A$ nın alanı$\leq B$ nin alanı önermesinin doğruluğundan emin olabiliriz ($B=A\cup (B\setminus A)$ (ayrık birleşim) den). Zaten ispatın sonunda ikisinin eşit olduğunu gösteriyoruz.

Aslında, geometride, bir doğru parçasının alanının 0 olduğunun örtülü olarak kabul edildiği  şöyle görülebilir.

(Dik) Üçgenin alan formülü bulunurken dik üçgen (hipotenüsü köşegen olacak şekilde)  bir dikdörtgene tamamlanır ve dikdörtgenin geri kalanının da benzer bir üçgen oladuğundan aynı alana sahip olacağı, dolayısıyla, dik üçgenin alanınıın bu dikdörtgenin alanını yarısı olduğu "ispatlanmış" olur.

 Ama burada önemli bir nokta var: iki dik üçgen ayrık olmadığı, ortak bir hipotenüse sahip olduğu gözardı ediliyor. Kesişme durumunda (sonlu kümelerin birleşiminin eleman sayısında olduğu gibi) "$A\cup B$ nin alanı$=A$ nın alanı$+B$ nin alanı$-A\cap B$ nin alanı" da kabul edersek (bazen bu formül kullanılır) yukarıdaki "ispat" ta hipotenüsün alanının 0 olduğunun varsayıldığı nı görüyoruz.

Aslında benzer sorun uzunluk ta da var: iki ucu da dahil olunca doğru parçasının uzunluğu artmıyor. Burada nokta sayısı sonlu olduğu için sorgulanmıyor sanırım.

(Aslında durumun yukarıdakinden daha karışık olduğu, ölçüm teorisinde görülür)

---

Çok teşekkürler Doğan hocam.

---

Tam 49 sene önce basılmış bir Geometri kitabından:

Aksiyom 1: Her çokgensel bölgeye bir tek pozitif sayı karşılık gelir.

Aksiyom 2: İki üçgen eş ise onların alanları birbirine eşittir.

Aksiyom 3: Eğer $R$ bölgesi $R_1$ ve $R_2$ bölgelerinin birleşimi ve $R_1$ ile $R_2$ nin arakesiti sonlu sayıda doğru parçaları veya noktalardan ibaret ise, $R$ nin alanı $R_1$ ve $R_2$ nin alanları toplamına eşittir.

Aksiyom 4: Dikdörtgenin alanı, tabanının uzunluğu ile yüksekliğinin çarpımına eşittir.

---

Bu aksiyomlara bir itirazım yok ki.Ama mesele sınırların dahil edilmesi durumundaki pozitif sayı ile  dahil edilmemesi durumundaki pozitif sayının aynı olup olmadığıdır.

---

Sınırların dahil edilmemesi durumunda  (bu aksiyomlarla) geometri bu durumla başedemiyor, çünki (3. Aksiyomu kullanabilmek için) sonlu sayıda üçgene (veya dikdörtgene) bölmek imkansız oluyor. Sonsuz tane sayı toplamak veya limit almak Analiz ile mümkün. 

Bu aksiyomlarla dairenin alanı da hesaplanamaz.