Reel sayılar üzerine karmaşık sayıları düşün. Her karmaşık sayıyı $a, b \in \mathbb{R}$ olmak üzere $a + bi$ şeklinde yazabilirsin. Reel sayıları da karmaşık sayıların $\{a + bi \in \mathbb{C} : b=0\}$ altkümesi ile esleyebilirsin. Bu altkümedeki elemanları karmaşık sayılar gibi toplayacaksın ve çarpacaksin, onu demek istemiş. Ama zaten dikkat edersen normal reel sayı çarpması bu.
Yine aynı örnek üzerinden gidecek olursak, karmaşık sayılar abelyen bir grup oluşturuyor. Üstüne üstlük bir $a = a+ 0.i$ reel sayısıyla bir $c + di$ sayısını çarparsan $ac + adi$ sayısını elde ediyorsun. Bu da skaler çarpmayı tanımlıyor, vektör uzayı aksiyomlarinin kontrol edilmesi çok kolay. Dene.
Reel sayılar karmaşık sayılar üzerine vektör uzayı değiller çünkü bir reel sayı alıp $i$ skaleri ile çarptığında yine bir reel sayı elde etmiş olmuyorsun eğer aldığın reel sayı sıfır değilse. Yani skaler çarpma altında kapalı değilsin. Dolayısıyla vektör uzayı olamazsın.