Burada "türevlenebilir" sözcüğü alışılmıştan biraz farklı bir anlamda kullanılıyor.
(Bu soru 1 değişkenli ile çok değişkenli fonksiyonlar arasındaki önemli bir farka da işaret ediyor)
1 Değişkenli fonksiyonlarda, fonksiyonun bir sayıda "türevi var" ise fonksiyon o sayıda "türevlenebilirdir" diyoruz.
Çok değişkenli fonksiyonlarda bu tanım uygun olmuyor.
Bizi farklı bir tanım yapmaya zorlayan en basit fonksiyon:
$f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x^2+y^2},\ (x,y)\neq(0,0)\\ 0,\qquad (x,y)=(0,0)\end{cases}$
$(0,0)$ da her iki kısmi türevi de var ama "sürekli bile değil".
Onlar için (farkı vurgulamak için) "diferansiyellenebilme" diye yeni bir tanım yapılır. Örneğin iki değişkenli fonksiyonlar için
$f(x,y)$ (en azından) bir $(a,b)$ noktası merkezli bir dairede tanımlı bir fonksiyon olsun.
Eğer
$$\lim_{(x,y)\to(a,b)}\frac{f(x,y)-(f(a,b)+A(x-a)+B(y-b))}{\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}}=0$$
olacak şekilde $A,B\in\mathbb{R}$ sayıları varsa,
$f(x,y),\ (a,b)$ noktasında diferansiyellenebilirdir deriz.
(eşdeğer daha uzun bir tanımı da var)
$f,\ (a,b)$ noktasında diferansiyellenebiliyor ise (kolayca gösteriliyor ki) $f,\ (a,b)$ noktasında kısmi türevlere sahiptir ve $A=\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)$ ve $B=\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)$ olur ve $f,\ (a,b)$ noktasında sürekli olur.
Bahsettiğiniz şey bir teorem.
Teorem: Bir $(a,b)$ merkezli bir dairede $f$ nin her iki kısmi türevleri ($\frac{\partial f}{\partial x}$ ve $\frac{\partial f}{\partial y}$) var ve ikisi de $(a,b)$ de sürekli ise, $f,\ (a,b)$ noktasında diferansiyellenebilirdir.
EK:
$f,\ (a,b)$ de diferansiyellenebilir ise $f$ nin $(a,b)$ de her yönde yönlü türevi var oluyor (Galiba sorunun son cümlesinde sözü edilen özellik bu)