$f(x,y)$'nin türevlenebilirlik incelemesi.

Question

Merhabalar, ben matematikçi değilim. Belki 4 4 lük matematik terimleri kullanamam ama elimden geldikce kendimi ifade etmeye calisacağım.

F(x,y) R^2 ---> R  bir fonksyon olsun.

Bu fonksyonun bir (x0,y0) noktasında türevlenebilir olması için

bir kaynaktan okudum, diyor ki dF(x,y)/dx (delf bölü del x) ve dF(x,y)/dy  kısmi turevleri var ve surekliyse f fonksyonu türevlidir diyor. cok yetersiz geldi bana. burada kısmi türevler x0y0 noktasında olacak yani reel bir sonuc verecek. buraya kadar tamam anladım. Daha sonra diyor ki kısmintükısmı türevler sürekli olsun diyor, yani burada kısmi türevler icin x0,y0 yakınında civarında olan sürekliligemi bakacağım ? yoksa tüm x0y0 da kısmi türevlerin sürekliliginemi bakacağım ?

ayrica yukarıdaki bu yontemle F'in bir x0y0'da kısmi türevrrinin varlığını mı geriyoruz yoksa F in her yönden (her rotadan-yaklaşımdan) türevlenebildiginimi? cunki 2 boyutta bir çok yönden türev söz konusu

Answer 1

Burada "türevlenebilir" sözcüğü alışılmıştan biraz farklı bir anlamda kullanılıyor.

(Bu soru  1 değişkenli ile çok değişkenli fonksiyonlar arasındaki önemli bir farka da işaret ediyor)

1 Değişkenli fonksiyonlarda, fonksiyonun bir sayıda "türevi var" ise fonksiyon o sayıda "türevlenebilirdir" diyoruz.

Çok değişkenli fonksiyonlarda bu tanım uygun olmuyor.

Bizi farklı bir tanım yapmaya zorlayan en basit fonksiyon:

$f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x^2+y^2},\ (x,y)\neq(0,0)\\ 0,\qquad (x,y)=(0,0)\end{cases}$

$(0,0)$ da her iki kısmi türevi de var ama "sürekli bile değil".

Onlar için (farkı vurgulamak için) "diferansiyellenebilme" diye yeni  bir tanım yapılır. Örneğin iki değişkenli fonksiyonlar için

$f(x,y)$ (en azından) bir $(a,b)$ noktası merkezli bir dairede tanımlı bir fonksiyon olsun.

Eğer 

$$\lim_{(x,y)\to(a,b)}\frac{f(x,y)-(f(a,b)+A(x-a)+B(y-b))}{\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}}=0$$

olacak şekilde $A,B\in\mathbb{R}$ sayıları   varsa,

$f(x,y),\ (a,b)$ noktasında diferansiyellenebilirdir deriz.

(eşdeğer daha uzun bir tanımı da var)

$f,\ (a,b)$ noktasında diferansiyellenebiliyor ise (kolayca gösteriliyor ki) $f,\ (a,b)$ noktasında kısmi türevlere sahiptir ve  $A=\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)$ ve $B=\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)$ olur ve $f,\ (a,b)$ noktasında sürekli olur.

Bahsettiğiniz şey bir teorem.

Teorem: Bir $(a,b)$ merkezli bir dairede $f$ nin her iki kısmi türevleri ($\frac{\partial f}{\partial x}$ ve  $\frac{\partial f}{\partial y}$) var ve ikisi de $(a,b)$ de sürekli ise, $f,\ (a,b)$ noktasında diferansiyellenebilirdir.

EK:

$f,\ (a,b)$ de diferansiyellenebilir ise $f$ nin $(a,b)$ de her yönde yönlü türevi var oluyor (Galiba sorunun  son cümlesinde sözü edilen özellik bu)

Comments

$f$ nin $(a,b)$ de her yönde türevi olması $f$ nin $(a,b)$ de diferansiyellenebilir olmasını garantilemiyor ama.