Question

$f$ ve $g$ fonksiyonlarının sürekliliği ile ilgili..

$R$'de tanımlı

$f $ ve $g$ fonksiyonları a noktasında süreksiz ise.

$f+g$ fonksiyonu  a noktasında  sürekli olabilirmi ?

Comments

sezgisel olarak, $[a,b]$ kapalı aralıgında her noktada tanımlı ama a noktasında sureksız bır kırık egri düşünelim ve aynı eğriye benzer bir kırık egrı daha düşünelim, eğrilerin kırıklıkları a noktasına gore sımetrıkse topladıgımızda tam bır egrı elde ederız.

---

bence girişte süreksiz ise çıkıştada süreksiz olur..sorumda sağ limit sol limite eşit olmadığı halde,noktayı sürekli kabul edip,f'de a ya soldan yaklaşırken+ g ye soldan yaklaşırken toplamı.f de a'ya sağdan yaklaşırken + g de a 'ya. sağdan yaklaşırkenki toplamına eşitleyip grafik bulmuş..?

---

Dediğini anlamadım ama soruya cevap olarak evet böyle bir toplam sonucu sureklı bır grafık olabılır. "grafik 1(süreksiz)+ grafik 2(süreksiz)=grafik 3(sürekli)"

---

anladım hocam sağolun...iyi geceler :)

---

$f$ fonksiyonu $a$ noktasında​ süreksiz ise $-f$ fonksiyonu da $a$ noktasında süreksiz olur. Ama bu iki fonksiyonun toplamı sabit sıfır fonksiyonu​...

---

Merhabalar, burada bir yanlışlık olduğunu belirtmek isterim. Çizdiğiniz grafik her zaman doğru değildir. f ve g fonksiyonları için süreksizlik tanımını yazmalı daha sonra da göstermek istediğiniz yani f+g nin süreksizlik tanımı yazılmalı.Eğer bunları yazarsanız ne olduğunu göreceksiniz. 

---

Merhabalar, böyle bir durum olabilir mi denildiği için tek bir durum bulmak yeterli olur,çizdiğim grafikler elbette matematiksel olarak tam doğru değiller ama "ortaogretim"  kategorılı oldugu için sezgisel hissettirmek istedim.

Eğer tanım kullanırsak,

$f:A\to \mathbb R$
$c$,$A$'da sürekliyse
$$(\forall \epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x\in A)(|x-c|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(c)|<\epsilon)$$

Anlamı: $x$'den bagımsız ama $c$ ve $\epsilon$'a oyle bır $\delta$ pozitiv sayısı bulucagız ki her $\epsilon$ pozitiv sayısı için $|f(x)-f(c)|<\epsilon$ sağlanacak 

$c$, $A$'da süreksizse

$$(\exists\epsilon>0)(\forall\delta>0)(\exists x\in A)(|x-c|<\delta \wedge |f(x)-f(c)|\ge\epsilon)$$
Olur.
Anlamı: $c$ eğer $A$'da süreksiz ise, öyle bir $\epsilon$ pozitif sayısı vardır ki, tüm $\delta$ pozitif sayıları için $|x-c|<\delta$  eşitsizliğini sağlayan ama $|f(x)-f(c)|<\epsilon$ eşitsizliğini sağlamayan bir $x\in A$ noktası olmalıdır.
 
Yorumum: Bu fonksiyonlar kaldırabilir süreksiz ise, uygun fonksiyonlarla toplanıp çıkarılırlarsa sürekli fonksiyonlara dönüşebilirler, yani buradaki süreksizliği sağlayan $x$ noktaları kaldırılır . Ozgür'ün örneginde ve diger orneklerde de bu saglanıyor.

---

Anıl'ın grafiğinin nesi yanlış, ben anlayamadım.