Tam metrik uzaylar

Question

$\mathbb{R}$'de $d(x, y) =|e^x-e^y|$ olmak üzere $(\mathbb{R},d)$ metrik uzayı tam uzay mıdır? 

Mesala ${x_n}=-n$ alırsam $|e^{-n}-e^{-m}|<\epsilon$ sağlanıyor fakat her $x_n$ cauchy dizisi için sağlanıyor mu onu nasıl gösterebilirim bilmiyorum.

Answer 1

Her dizi değil, her Cauchy dizisi yakınsak olmalı. Dikkat ederseniz sizin getirdiğiniz dizi Cauchy değil (Neden?)

Yaptığım hesap şöyle:

$x_n$ Cauchy dizisi olsun: her $\varepsilon>0$ için öyle bir $N\in \mathbb N$ sayısı vardır ki her $n,m>N$ için $|x_n-x_m|<\varepsilon$ olur.

Bakalım öyle mi?

$|e^{x_n}-e^{x_m}|=|e^{x_m}||e^{x_n-x_m}-1|\leq e^{x_m}|e^{x_n-x_m}|\leq  e^{x_m}e^{|x_n-x_m|}< e^{x_m}e^{\varepsilon}$

$n,m\rightarrow \infty$ iken sağdaki ifade Cauchy dizileri $R$'de yakınsak olduğundan $x_m\rightarrow x$ olur, dolayısıyla,

 $|e^{x_n}-e^{x_m}|<e^xe^\varepsilon$

ve bu ifâde hiçbir $\varepsilon$ için yakınsak değildir! En küçük $\varepsilon$ değerinde bile $e^x$ ile sınırlı oluyor ifâde. Dolayısıyla, formel olarak ispat yaparken epsilonu, atıyorum, $e^{2x}$ seçseniz çelişki elde edeceksiniz demektir. 

Yani, metrik uzayınız tam değildir.

Comments

|$e^{x_m}$||$e^{{x_n}-{x_m}}- 1$| eşitlik böyle sağlanıyor ben mi yanlış görüyorum?

---

Haklısınız; sağolun, düzelttim.