Bir topolojik uzayın homoloji grupları neyi ifade eder?

Question

Temel cebir bildikten sonra basit uzayların homoloji gruplarını bulmak gayet kolay. Merak ettiğimse bu grupların neyi ölçtüğü, ne ifade ettiği.

Answer 1

$n\geq 1$ için $n$'inci homoloji grubunun rankı uzaydaki $n$ boyutlu boşlukları ölçer kabaca. $n=0$ için rank yol bağlantılı bileşen sayısını verir. Mesela iki boyutlu kürenin (sırasıyla 0,1,2'inci) homoloji grupları  $\mathbb{Z}, 0$ ve $\mathbb{Z}$'dir. Eğer İki boyutlu küreden bir nokta çıkartırsak, kürenin içindeki boşluk dışarı çıkabilir, yani eskiden içerde olan boşluk, artık "içerde" değildir. Yeni uzayın homolojisinr bakıldığında bu görülebilir. Yeni uzayın (sırasıyla 0,1,2'inci) homoloji grupları $\mathbb{Z},0$ ve $0$'dır.

Comments

Kürenin içindeki boşluk?

---

Lastik topu sisirdiginde siskinligin sebebi olan havanin kapladigi yer.

---

Her iki boyutlu kürenin "içinde" "boşluk" var mıdır? Her iki boyutlu kürenin "içi" var mıdır? Bir uzayın homolojisi, hangi uzayın alt uzayı olduğundan bağımsız, içrek (intrinsic) bir özellik midir, değil midir?

Cevabın bana bu soruları sorduruyor.

---

Kurenin tanimi ne?

---

Örneğin, küre bir bölüm uzayı olarak tanımlanabilir.

Soyut bir manifoldun yattığı uzay manifolda içrek değildir.

---

Ama nasil tanimlandigindan bagimsiz. Zira homoloji guzel fonksiyonlar altinda degismez, degil ki homeomorfizma altinda degissin.

Eger iki boyutlu kure dedigimiz sey nasil tanimlarsak tanimlayalim lastik topa model olan kureye homeomorfikse ici vardir. Ister 12 boyutlu uzayda yatsin, ister kafada sektiriliyor olsun.

Degil mi?

---

Ben de tam bunu diyorum: homolojinin ne olduğunu, uzayımızın hangi modelini aldığımızdan bağımsız olarak anlatabilmeliyiz. Aksi cevaplar yanlış yönlendirir.

Eğer bir modelde iç varsa, başka modelde yoksa? Birinci modelde homolojiyi anladık diyelim, o ikinci modelde homolojiyi nasıl anlayacağız? Kafamız karışmaz mı?

Üstelik, ciddi bir soru: $S^2$'yi $\mathbb{R}^4$'te düğümleyebilir misin?

---

Hatta bir soru daha: $\mathbb{R}^3$'te "simit"in ($T^2$) içi var. Bu manifolda dolu simit ($S^1\times D^2$) diyelim. Öyle bir $M$ manifoldu ve içinde bir simit var mıdır ki, o simit $M$'de yatan bir dolu simidin kenarı olmasın?

---

Homoloji uzayin modelinden bagimsiz bicimde tanimliyoruz zaten. Ama ya bu ne anlama gelir dedigimizde bir model uzerinde anlatmak fikri daha iyi vermiyor mu? Soru onu soruyor benim anladigim.

Birinci modelde homoloji anladiktan sonra aslinda modeli degil uzayi anlamis olmuyor muyuz? Sonucta model denilen sey bir realizasyon, dusunsel bir izdusum. Kafamiz bence karismaz. Ama eger demek istedigin suysa, o konuda hak veriyorum. Modelin onerdigi ozellikleri yapinin kendi ozellikleriyle karistirabiliriz. Evet, o konuda uyanik olmak gerek.

Son olarak son soruyla ilgili: Hicbir fikrim yok.

---

Sorularin yanitlarini bilmedigim bir yana, itarizini nasil destekledigini de anlayamiyorum verdigin orneklerin.

---

"İçrek olmayan bir özellikle içrek bir çokluk anlatılmamalı" ilkemi destekleyen tehlikeli sorular onlar. Bu arada, $S^2$'nin $\mathbb{R}^4$'te içi olmadığını söyleyip bitireyim.