Question

Homoloji gruplarında burkulma geometrik olarak neye işaret eder?

Comments

burkulmanin ingilizcesi nedir acaba?

---

ingilizcesi "torsion".

---

Evet, torsion. Yani bir uzayın, atıyorum birinci homoloji grubunun bir direk çarpanının $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ olması geometrik olarak neye işaret eder?

---

Yazdıktan sonra fark ettim ki soru yanıtlanmış. Boşa gitmesin diye yine de gönderiyorum:

$\mathbb{Z}$ katsayılı homoloji kastedildiğini varsayarak...

Örneğin, $M$ bağlantılı, kapalı bir $n$-manifold iken $M$ yön verilemez bir manifoldsa burk$(H_{n-1}(M;\mathbb{Z}))=\mathbb{Z}_2$ olur. Aksi durumda  burk$(H_{n-1})=0$ olur. Bunun $n=2$ için özel hali: kapalı bir yüzeyde birinci homolojide burkulma varsa yüzeye yön verilemez. Bunun daha geometrik anlamı da şöyle: $H_1$'de kendi başına bir 2-hücrenin kenarı olamayıp da bir kopyasıyla birlikte bir 2-hücrenin kenarı olan bir çemberin temsil ettiği bir eleman vardır (örn. reel projektif düzlemde bir doğru).

Daha ayrıntılı bir cevap için tam olarak neyi sormak istediğini bilmem gerek Şafak.

---

Bosa gitmez, birden fazla cevap da guzeldir.

Answer 1

$n$-inci homoloji grubunda $\mathbb Z/2$ olması $n$-inci boyutta iki katı bir coboundary olan bir cocycle var demektir. Mesela bir iki boyutlu disk $D^2$ al ve sınırındaki (boundary) bütün noktalarda $(x,y)$ ile $(-x,-y)$ yi birbirine yapıştır. Ortaya çıkan uzaya $X$ dersek, $X=\mathbb R P^2$'dir. $D^2$'nin üst yarım dairede kalan sınırı yeni uzayda artık bir cocycle'dir çünkü $(1,0)$ le $(-1,0)$ artık ayni noktalardır. Bu cocycle'a $\sigma$ dersek, $\sigma$ bir $1$-cocycle'dır ama coboundary değildir. Yani $\sigma$'nın sınıfı $H_1(X)$'de sıfırdan farklıdır. Ne zaman bu $\sigma$'ya kendisini yani $D^2$'nin alt yarım dairede kalan sınır kısmını eklersek $D^2$ nin tüm çevresi olur yani bir coboundary olur. Diğer bir değişle $2[\sigma]=0$ olur. Dolayısı ile $[\sigma]$ birinci homolojide bir $\mathbb Z /2$ gerer. Sorduğun şey bu muydu bilmiyorum ama ben iki katı sıfır olan homoloji sınıfı denilince hep bu örneği düşünürüm.

 

Comments

Evet bunu sormuştum, teşekkürler. Yalnız yine de, $\mathbb{R}\mathbb{P}^2$ içinde cycle aldığımızda bir kere dolanınca büzememize karşın ikinci dolanışıtan sonra çözülüp büzülebilir hale gelişini tam kavrayabildiğimi söyleyemeyeceğim. Cebirsel olarak bunun bir boundry olması gerektiğini görebiliyorum ve fakat..

---

$2[\sigma]$ diskin çevresinde bir tur atmaya karşılık geliyor. Bu çevrimi $D^2$'nin ortasındaki sıfır noktasına doğru büzebilirsin. Büzmek aslında homotopi ile ilgili bir durum homoloji için bir 2-boyutlu bir hücrelerin sınır hücrelerinin lineer kombinasyonu olması sıfır olması icin yeterli.