Topoloijk Uzaylarda Bazlara Dair

Question

$\mathbb{Z}$ tamsayılar kümesi ve $a\mathbb{Z}+b:=\{az+b|z\in\mathbb{Z}\}$ olmak üzere $$\mathcal{B}:=\{a\mathbb{Z}+b|a\in\mathbb{Z}\setminus\{0\},b\in\mathbb{Z}\}$$ ailesinin $\mathbb{Z}$ tamsayılar kümesi üzerindeki bir topoloji için baz olduğunu gösteriniz.

Comments

Bu sorudakinden çok az farklı ($a>1$ alarak) $\mathbb{Z}$ de bir topoloji kullanarak,

Asal sayıların sonsuz çoklukta olduğu gösterilebiliyor (Harry Fürstenberg).

Proofs from THE BOOK (M. Aigner - G. M. Zeigner) Kitabında görebilirsiniz.

Türkçesi: “Kitap’tan Deliller”, İstanbul Bilgi Üniversitesi Yayınları / Matematik ve Bilgisayar Dizisi 

(http://matematik.cu.edu.tr/Dersler/MT342/mt342AsalSayilarinSonsuzlugu.pdf de var)

---

İlginç. Daha önce duymamıştım.

Answer 1

$U(b,a):=b+a\mathbb{Z}$ olsun. Her $a\neq 0$ için $b\in U(b,a)$ olacağından bu kümeler tamsayıları örter. Öte yandan, $x$ tamsayısı hem $b+an$ hem de $b'+a'n'$ formatındaysa her $m\in\mathbb{Z}$ için $$x+aa'm$$ sayısı da hem $b+an$ hem de $b'+a'n'$ formatındadır. Bu da $x\in U(b,a)\cap U(b',a')$ ise $$U(x,aa')\subset  U(b,a)\cap U(b',a')$$ demektir. O halde verilen kümeler bir topolojinin bazını oluşturur.

Öte yandan kısmına açıklama: $7$'nin $5$'ten kalanı $2$, $6$'dan kalanı $1$ o halde $7+30n$ biçimindeki her elemanın da  $5$'ten kalanı $2$, $6$'dan kalanı $1$, zira eklediğimiz kısım $5$'in de $6$'nın da gözünde kıymetsiz.

Answer 2

Ben de bir cevap ekleyeyim.

$$\mathcal{B}=\{a\mathbb{Z}+b|a\in\mathbb{Z}\setminus\{0\},b\in\mathbb{Z}\}\subseteq\mathcal{P}(\mathbb{Z})$$ ailesinin $$\mathbb{Z}$$ tamsayılar kümesi üzerindeki bir topolojiye baz olduğunu gösterebilmemiz için $$\mathbf{b_1)} \,\ \cup\mathcal{B}=\mathbb{Z}$$ ve $$\mathbf{b_2)} \,\ (\forall A,B\in\mathcal{B})(\exists\mathcal{A}\subseteq\mathcal{B})(A\cap B=\cup\mathcal{A})$$ önermelerinin doğru olduğunu göstermeliyiz.

$-----------------------------------$

$\mathbf{b_1)} \,\ (a\in\mathbb{Z}\setminus\{0\})(b\in\mathbb{Z})\Rightarrow a\mathbb{Z}+b\subseteq \mathbb{Z}\Rightarrow \cup_{(a\in\mathbb{Z}\setminus\{0\})(b\in\mathbb{Z})} (a\mathbb{Z}+b)=\cup\mathcal{B} \subseteq \mathbb{Z}\ldots (1)$

 $x\in\mathbb{Z}\Rightarrow (\exists a\in\mathbb{Z}\setminus\{0\})(\exists b\in\mathbb{Z})(\exists z\in\mathbb{Z})(x=az+b)\Rightarrow x\in a\mathbb{Z}+b\subseteq \cup\mathcal{B}\Rightarrow x\in \cup\mathcal{B}$

Buradan da $$\mathbb{Z}\subseteq \cup \mathcal{B}\ldots (2)$$ olur ve

$$(1),(2)\Rightarrow \cup\mathcal{B}=\mathbb{Z}$$ elde edilir.

$-----------------------------------$

$\mathbf{b_2)} \,\ A,B\in\mathcal{B}$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} A\in\mathcal{B}\Rightarrow (\exists a\in\mathbb{Z}\setminus\{0\})(\exists b\in\mathbb{Z})(A=a\mathbb{Z}+b) \\ B\in\mathcal{B}\Rightarrow (\exists c\in\mathbb{Z}\setminus\{0\})(\exists d\in\mathbb{Z})(B=c\mathbb{Z}+d) \end{array}\right\}\Rightarrow A\cap B=(a\mathbb{Z}+b)\cap (c\mathbb{Z}+d) $

I. Durum: 

$\text{obeb}(a,c)\not{|} \,\ d-b\Rightarrow A\cap B=\emptyset\Rightarrow (\mathcal{A}:=\{\mbox{ }\}\subseteq \mathcal{B})(A\cap B=\cup\mathcal{A})$

II. Durum: $$\text{obeb}(a,c) \,\ |  \,\ d-b\Rightarrow A\cap B=\text{okek}(a,c)\mathbb{Z}-\max\left\{n\big{|} \,\ a|b+n, \,\ c|d+n, \,\ n\in\mathbb{Z}^-\right\}$$

$\Rightarrow A\cap B\in\mathcal{B}\Rightarrow(\mathcal{A}:=\{A\cap B\}\subseteq \mathcal{B})(A\cap B=\cup \mathcal{A}).$

$-----------------------------------$

Dolayısıyla $b_1$ ve $b_2$ koşulları sağlanır. O halde

$$\mathcal{B}=\{a\mathbb{Z}+b|a\in\mathbb{Z}\setminus\{0\},b\in\mathbb{Z}\}\subseteq\mathcal{P}(\mathbb{Z})$$ ailesi $\mathbb{Z}$ üzerindeki bir topoloji için bazdır.