Bu sayının irrasyonel olduğunu gösteriniz

Question

$\frac12+\frac18+\frac1{64}+\frac1{1024}+\cdots=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left(\frac12\right)^{\frac{n(n+1)}2}$ sayısının irrasyonel olduğunu gösteriniz.

Comments

Ben denedim yapamadım hocam ama $ (1/2)^{(n²/2)} .(1/2)^{(n/2)} $ diye ayırıp sigmalari çarpım haline getirip ayrı ayrı hesaplamak bir işe yarar mı?

---

sonsuz seriler sonsuz farklı değer alır. (1/a)+(1/b)+...+(1/sonsuz)=((1/c)-(1/d))+((1/d)-(1/e))+...+((1/g)-(1/sonsuz))=1/c burdan da  c yerine herhangi birşey yazılabileceği için bu tür serilerin sonucu tek bir değer değil sonsuz farklı değer alır. alper derinkuyu

---

Ama $\sum a_n b_n\neq \sum a_n \sum b_n$

---

İpucu:

$0,101001000100001\cdots$ (0 ların sayısı birer birer artıyor) rasyonel bir sayı mıdır?

---

1/90 oluyor (islem hatam yoksa )hocam rasyonel

---

Bayağı bir işlem hatası var.

$0,101001000100001\cdots>0,1=\frac1{10}>\frac1{90}$

---

Yazdığınız 1/2 serisiyle aynı formatta olduğunu şimdi farkettim hocam olmuyormuş.

---

Son ipucu:

(Yorumdaki) ondalık açılım devirli mi?

---

Çözüm olarak aklıma söyle bir fikir geldi hocam her rasyonel sayının bir devirli ondalik açılımı vardır yorumda bahsettiğiniz sayının olmadığı için irrasyonel. Ve soruları dizi de yorumdaki Sayının(dizinin iki tabanına göre yazılmış hali) o zaman yorumdakinin irrasyonel olduğunu gösterirsem 2 tabanına göre yazılmış hali de irrasyoneldir diye düşündüm.  (Yorumdakinin irrasyonel olduğunu göstermek içinse 0 ve 1 ler arasında tekrar eden bir ifade olmadığı çünkü sıfirlarin birer birer arttığını açıklayan bir cümlem var birtek ama) bu haliyle paylaşayım mı? 

---

Çok güzel @deniztunayalçın. Hangi taban kullanıldığının burada hiç bir önemi yok. Rasyonel sayıların açılımı her tabanda devirli olur(Burada sonlu açılımları da 0 ekleyerek devirli kabul ediyoruz).

Answer 1

Bu çözüme başlamadan önce rasyonel sayılarla ilgili $ 2 $ özellik belirtmek istiyorum;

1)Rasyonel bir sayının başka bir tabana göre yazılımı yine rasyoneldir. (mesela 2,10 tabanları)

2)Her rasyonel sayının devirli ondalık gösterimi vardır.

$ \sum_{k=1}^{\infty }\left ( \frac{1}{2} \right )^{\frac{n.(n+1)}{2}} $ sayısına $ S $ diyelim. 

$ S $ 'yi rasyonel  kabul edelim. 

Eğer $ S $ rasyonelse o zaman $ S $' nin başka bir tabana göre yazılımı da rasyonel olacaktır.

Mesela $ S $ yi $ 2 $ tabanında inceleyelim;

$ \frac{1}{2}+\left ( \frac{1}{2} \right )^{3}+\left ( \frac{1}{2} \right )^{6}+... $ şeklinde giden bir sayıyı $ 2 $ tabanında yazacak olursak

$ S = (0,1010010001...)_2 $ olur.   

 Bu açılımı incelediğimizde devirli ondalık gösterimi olamayacağını görürüz ; çünkü $ 0 $'lar sonsuz  sayıya yaklaşsa bile daima sonlarında bir $ 1 $ vardır. (Bu sebepten ötürü devreden bir ifade yoktur)

 Bu da bu sayının rasyonel olmadığını gösterir. (Özellik $ 2 $)

 Eğer $ S $'ye  rasyonel dediysek ve $ S $'nin $ 2 $ tabanındaki yazılımı rasyonel değilse kabulümüz yanlıştır. Yani  $ S $ rasyonel değildir. $ S $ rasyonel değilse de irrasyoneldir.

Comments

2 tabanında acilimini alırsak 10 formuna geliyordu taban karmaşası yasamisim sağolun hocam:)

---

Çözümü kolayca düzeltebilirsin.

---

10 tabanı yerine 2 tabanı dedim hocam.

---

10 (ve ondalık) hiç kullanmaylım;

$S=(0,101001000100001\cdots)_2$ diyebiliriz.

---

Daha düzenli oldu bence hocam:) 2'yi parantezin sağ alt köşesine nasıl yazacağımı bilmiyordum.

---

Ispat aslinda sunu da diyor: $2$ yerine herhangi $a\ge 2$ pozitif tam sayisi alabiliriz.