$a+b+c=2$ ise ... min değeri nedir? Geçenlerde sorulan bir soru ile ilgili bir soru

Question

Merhabalar,

$a,b,c \in \mathbb{R}^+$ iken

$a+b+c=2$ için

$ \left ( \dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{9}{c} \right )_{min}=? $ 

Bu soru için aritmetik ortalama geometrik ortalamadan bir çözüm attım ama çözümüm genel bir çözüm değildi ve daha küçüğü bulunabiliyordu;

Bir arkadaşım $a,b,c<2$ dedi ve buradan genel olarak istenen ifadenin $7$'den büyük olduğunu söyledi. Ancak bu aralığı daraltmamız gerektiğini düşünüyorum;

Son olarak ise Cauchy-Schwarz'dan $\left (\dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{9}{c} \right)\cdot(a+b+c)\ge (1+2+3)^2$'den $\left (\dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{9}{c} \right)_{min}=18$ olarak bulunuyor...

Ancak şöyle bir tavsiye de aldım daha rahat lagrange çarpanı kullanarak yapabilirsin şeklinde $f(a,b,c,k)=\dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{9}{c}+(a+b+c-2)$ gibi bir ilişki kullanıp $f_k'=0$ $f_a'=0$ olan durumları incelememiz gerektiği söylendi ben tam olarak bunun işleyişini anlamadım ancak gelecek sorularda lagrange çarpanıyla çözmek isterim. Nasıl kullanılabiliyor ve k,a,b,c'ye göre türev derken bir uygulamasını gösterebilir misiniz?(türevi biliyorum)

Comments

$f$'deki $k$ carpanini unutmussun. Burada birkac soru vardi Lagrange ile cozulmus, onlari bir arastir istersen...

---

http://matkafasi.com/74195

---

Anladım sanırım hocam teşekkür ederim:)

---

Cauchy schwarzdan yaptığınız çözüm sadece $a,b,c > 0$ için geçerli.

---

Biliyorum soruda $a,b,c \in \mathbb{R}^+$ yazıyordu. Ben niyeyse eklemeyi unutmuşum. Teşekkür ederim:)

---

Cauchy-Schwartz ile minimum veya maksimum bulurken bir noktayı gözden kaçırmamak gerekli.

"Eşitlik yalnızca ... durumda sağlanır " ifadesindeki .... koşulunun sağlanabiliyor olduğunu kontrol etmek de gerekli . Bu problemde o koşul sağlanabiliyor.

Answer 1

$f(a,b,c,k)=\dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{9}{c}+k\cdot(a+b+c-2)$ olur

$f_a'=k-\dfrac{1}{a^2}$

$f_b'=k-\dfrac{4}{b^2}$

$f_c'=k-\dfrac{9}{c^2}$

$f_k'=0$

Bütün türevler birbirine eşit olur;

$k=\dfrac{1}{a^2}=\dfrac{4}{b^2}=\dfrac{9}{c^2}$

$\sqrt{k}=\dfrac{1}{a}=\dfrac{2}{b}=\dfrac{3}{c}$

$\sqrt{k}=\dfrac{1+2+3}{a+b+c}=\dfrac{6}{2}=3$

$k=9$ ise 

$a=\dfrac{1}{3}$

$b=\dfrac{2}{3}$

$c=1$

İstenen ifade;

$3+\dfrac{12}{2}+9=18$ olur.