$a_n=A\cdot a_{n-1}+B\cdot a_{n-2}$ bir dizinin genel terimini bulmak

Question

Merhabalar geçenlerde şöyle bir kuralla karşılaştım (olduğu gibi yazıyorum)

$\displaystyle   a_n=A\cdot a_{n-1}+B\cdot a_{n-2}$ ise $a_n=x^n$ için;

$$x^n=Ax^{n-1}+Bx^{n-2}$$ dönüşümü sağlanır (buraya kadar anladım) ve bu dönüşümün karakteristik denklemi;

$$x^2-Ax-B=0$$'dır. Denklemin kökleri $x_1,x_2$ ise $c_1,c_2\in\mathbb{R}$ için;

$$\displaystyle a_n=c_1(x_1)^n+c_2(x_2)^n$$'dir. 

Buralara kadar bir sorunum yok ancak bu konuyu biraz daha detaylı anlamak istiyorum;

$a_n=x^n$ dönüşümü nasıl/neden sağlandı?

$x^n$'in karakteristik denklemi nedir tam olarak?

Karakteristik denklemler nasıl bulunur?

Daha farklı durumlarda karakteristik denklem ve dönüşümleri nasıl yapabilirim?

Bu $4$ soru kafama takıldı, bu kuralları kullanarak üç beş soru çözdüm ama mesela fibonacci dizisinin genel terimini nasıl bulabilirim? (veya karakteristik denklem rasyonel köklü olmadığı zamanlar, üreteç fonksiyonlarla nasıl yapabilirim?)

Answer 1

Basitten baslamak onemli.

1) $n\ge 1$ icin $$a_n=1$$ ise dizi sabittir.

2) $n \ge 1$ icin $$a_{n+1}=r\cdot a_n$$ ise bu bir geometrik dizidir. (Bunu gormek zor degil). Dolayisi ile $$a_n=r^{n-1}a_1$$ olur.

3) $A$ ve $B$ gercel sayilar $n \ge 1$ icin $$a_{n+2}=  A a_{n+1}+ B a_{n}$$ olsun. Burada biraz durmak lazim. Yukaridaki iki ornek de aslinda bir geometrik dizi. Ilk olarak sunu sorabiliriz. Bunu bir geometrik dizi saglar mi? Dogal bir soru.

Oncesinde birkac gozlem de yapilabilir. 

Gozlem 0: $a_n=0$ bunu her zaman saglar.
 
Gozlem 1: $c\ne 0$ ise $b_n=c \cdot  a_n$ ise  ifadeyi $c$ ile carptigimizda $$b_n= Ab_n+Bb_n$$ elde ederiz ve $b_n$ de bunu saglar.

Gozlem 2: $a_n$ ve $b_n$ saglarsa $a_n+b_n$ de saglar. 

Gozlem 3: $a_n$ ve $b_n$ saglarsa $s$ ve $t$ gercel sayilari icin $sa_n+tb_n$ de saglar. 

Bu nedenle bu sekilde olanlara lineer deriz.

4) Geometrik dizi sorusuna donersek. Bir $a_0r^n$ bunun cozumumu demek yerine Gozlem 0-1 geregi $r^n$ bunun cozumumu diyebiliriz. 

5) Iki farkli cozum gelirse Gozlem 3 geregi $c_1r_1^n+c_2r_2^n$ bunun bir cozumu diyebiliriz. 

Bu fikir ise yaradi. 

__________________

$a_1=0$ ve $a_2=-2$ ise ve $n\ge 1$ icin $a_{n+2}=-a_n$ ise kompleks kokler gelir ama sorun degil. $$a_n=(i)^n+(-i)^{n}$$ olur. Bu da dort ile  periodik $$0,-2,0,2,0,-2,0,2,\cdots.$$ Fibonacci icin ise kokler gercel fakat rasyonel degil. Burada da sorun yok $$(1+\sqrt 5)+(1-\sqrt5)=2$$ olmasi gibi rasyonel olmayanlar birbirini eliyor.

Comments

Yani Fibonacci için de aynı yöntemi kullanarak genel bir terim bulabiliriz. Çok teşekkür ederim hocam:))

---

Matematik Dünyası dergisi eski sayılardan brinde bir yazı var bu konuda:

http://www.matematikdunyasi.org/arsiv/PDF_eskisayilar/91_1_24_27_DOGRUSAL.pdf

Bir de:

http://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=2567.0;attach=11307

var.

---

Teşekkür ederim hocam:)

---

http://matkafasi.com/18738 

burada da Fibonacci ile ilgili var birseyler.

Answer 2

Üreteç fonksiyonlarla şöyle yapılabilir:

$(a_n)_{n=1}^\infty$ böyle bir dizi olsun. $f(x)=\sum_{n=1}^\infty a_nx^{n-1}$ olarak tanımlayalım

("Yakınsaklık yarıçapı pozitif mi?" sorusunu şimdilik düşünmeyelim)

Verilen eşitlik:

$f(x)=a_1+(a_2-Aa_1)x+Axf(x)+Bx^2f(x)$ olması demektir. Bu da:

$f(x)=\frac{a_1+(a_2-Aa_1)x}{1-Ax-Bx^2}$ olur.  (ileride kolaylık olsun diye) $1-Ax-Bx^2=(1-b_1x)(1-b_2x)\quad(b_1,b_2\in\mathbb{C})$ olsun. 

($B\neq0$ durumunda) Basit kesirlere ayıralım:

$f(x)=\frac{c_1}{1-b_1x}+\frac{c_2}{1-b_2x}$ olarak yazabiliriz. Geometrik seri toplam formülünden

$\displaystyle f(x)=c_1\sum_{n=1}^\infty (b_1x)^{n-1}+c_2\sum_{n=1}^\infty (b_2x)^{n-1}=\sum_{n=1}^\infty(c_1b_1^{n-1}+c_2b_2^{n-1})x^{n-1} $

$f(x)$ in iki açılımının aynı olması gerektiğinden:

$a_n=\left(\frac{c_1}{b_1}\right)b_1^n+\left(\frac{c_2}{b_2}\right)b_2^n$ bulunur.

Ek: 

1. Bu mantık ile daha çok terimli eşitlikler ile tanımlı dizlerin formülü de bulunabilir.

2. $f(x)$ i tanımlayan kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapının pozitif olacağını göstermek de zor değildir.

3. Dizide indis 0 dan başlatılsa ispat biraz daha güzel  görünecekti (kuvvet serisinde $\sum a_nx^{n-1}$ değil $\sum a_nx^n$ olacaktı).