Question

$(1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,\ldots)$ dizisinin genel terimini bulunuz.

Answer 1

$t_k=0+1+2+3+\cdots+k$ olsun.
Amacımız $t_{k-1}<n\le t_k$ olan $n$ değerleri için
$a_n=k$
veren $n$'ye bağlı bir formül bulmak.

Anahtar olarak $$(2k-1)^2=8t_{k-1}+1 < 8n+1 \le 8t_k+1=(2k+1)^2$$ eşitsizliği sağlanır. Buradan $$k<\dfrac{\sqrt{8n+1}+1}{2}\le k+1$$ eşitsizliğini ve dolayısıyla $$k=\left\lceil \dfrac{\sqrt{8n+1}+1}{2}\right \rceil-1$$ eşitliğini elde ederiz.

Comments

Elinize sağlık Sercan hocam. Dizinin açık denklemini elde etmişsiniz, bu çok daha güzel oldu.

Answer 2

$m$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, $\dfrac{(m-1)m}{2}< n \leq \dfrac{m(m+1)}{2}$ iken genel terimi $a_n = m$ olan $(a_n)$ dizisidir.

 

Örneğin, bu yöntemle dizinin $2023$. terimini şöyle bulabiliriz: $\dfrac{(m-1)m}{2}< 2023 \implies m(m-1)<4046<4096=2^{12} \implies (m-1)^2 < 2^{12}$ ve $m \leq 64$.

$m = 64$ için $\dfrac{64\cdot 65}{2} =  2080 $ olup $ \dfrac{63\cdot 64}{2} < 2023 \leq \dfrac{64\cdot 65}{2}$ eşitsizliği sağlanır. O halde $a_{2023} = 64$ tür.

 

 

(Eğer $m=64$ için eşitsizlikler sağlanmasaydı, $m=63$ için kontrol ederdik.)