$(P(A),\cap)$ cebirsel yapısı değişmeli monoiddir yani $\cap$ işlemi değişmeli, birleşmeli ve birimli bir işlemdir. $\cap$ işleminin birim elemanı $P(A)$'nın $A=\{1,2,3\}$ elemanı (kümesi) olur. Bu işleme göre sadece $A$ elemanının (kümesinin) tersi vardır. $P(A)$'nın diğer elemanların tersi yoktur.
$(P(A),\triangle)$ cebirsel yapısı değişmeli gruptur yani $\triangle$ işlemi değişmeli, birleşmeli, birimli ve tersinir bir işlemdir. $\triangle$ işleminin birim elemanı $P(A)$'nın $\emptyset$ elemanı (kümesi) olur. Her elemanın tersi de kendisine eşittir. Bu işlemin birleşmeli olduğunu göstermek diğer özelliklerini göstermeye nazaran biraz daha zorcadır ama bu işlemin birleşmeli olduğunu göstermek için emek sarf etmenizi öneririm.
Gelelim dağılma özelliğine: $X,Y,Z\in P(A)$ olsun.
$$X\cap (Y\triangle Z)$$
$$=$$
$$X\cap [(Y\backslash Z)\cup (Z\backslash Y)]$$
$$=$$
$$[X\cap (Y\backslash Z)]\cup [X\cap (Z\backslash Y)]$$
$$=$$
$$[(X\cap Y)\backslash (X\cap Z)]\cup [(X\cap Z)\backslash (X\cap Y)]$$
$$=$$
$$(X\cap Y)\triangle (X\cap Z)$$
O halde $\cap$ işleminin $\triangle$ işlemi üzerine soldan dağılma özelliği var. $\cap$ işlemi değişmeli olduğundan sağdan dağılma özelliği de vardır. Sonuç olarak şunu söyleyebiliriz.
$$(P(A),\triangle,\cap)$$ cebirsel yapısı bir halkadır. Hem de değişmeli ve birimli bir halka.