Cebirsel olmayan sayilar ve koklu sayilar disinda, $\mathbb{R}$ ile $\mathbb{Q}$ arasinda bir fark var mi?

Question

      Rasyonel sayilar kumesine, cebirsel olmayan sayilari koklu sayilari eklesek reel sayilari elde etmis olur muyuz? Yoksa hala reel sayilarda olup bu kumede olmayan eleman kalir mi, kalirsa nedir? 

Bir fikir: Normal sayilar cebirsel midir?

Comments

cebirsel demek icin bir cisim belirtmek gerekli, ben rasyonel sayilarin cismini aliyorum.

1) (cebirseller gercel olmak zorunda degil) $x^2+1$ polinomunun kokleri gercel degil.

2) (askin sayilar gercel olmak zorunda degil) $i\pi$.

2) (gercel olmayanlari almazsak bile) $x^3-2$ polinomunun kokleri cebirsel ve bir koku de $\sqrt[3]2$. Verilen sartlarda bu eleman yok.

---

Biz de tam demin, sercan hoca beyle bu cebirsellik üzerine tartışıyorduk.

---

Evet rasyonel sayilar cismini kastettim zaten.

Tum koklu sayilari ekledik Sercan hocam, dolayisiyla kup kok 2 yi de ekledik. 

Ayrica $\mathbb R$ deki butun cebirsel olmayn sayilari ve bunlarin koklu sayilarla butun kombinasyonlarini da ekleyim $\mathbb Q$ ya. Hala disarda eleman kaldi mi?

---

İlgili olabılır ilginç bir durum.

http://matkafasi.com/87405/yaratilan-parcalari-degistirilirse-nitelikte-uretilebilinir

---

İlk aklıma gelenler şunlar:

1) $\mathbb{R}$ gerçel sayılar kümesi sayılamaz ama $\mathbb{Q}$ rasyonel sayılar kümesi sayılabilirdir.

2)  $\mathbb{R}$ gerçel sayılar kümesinin boştan farklı üstten (alttan) sınırlı her altkümesinin supremumu (infimumu) vardır ama $\mathbb{Q}$ rasyonel sayılar kümesinin boştan farklı üstten (alttan) sınırlı her altkümesinin supremumu (infimumu) olmayabilir.

Son olarak şunu merak ettim. Normal sayılardan kastın nedir?

---

Murad hocam, bahsettiğiniz iki özellik doğru. Sorum, yukarıda belirttiklerimi yaptığımızda, yani tüm köklü sayıları, cebirsel olmayan sayıları ve bunların bütün kombinasyonlarını(birbirleriyle toplama, çıkarma, çarpma, bölme) $\mathbb Q$ 'ya eklediğimizde, elde ettiğimiz bu yeni küme ile $\mathbb R$ arasında hala bir fark kalıp kalmadığıydı. 

Normal sayılar için : http://www.acta.sapientia.ro/acta-math/C2-1/math21-8.pdf 

ilk sayfanın sonunda ve ikinci sayfanın başında tanımı veriliyor. 

@Anıl , evet ilgili olabilir.

---

İlginç. Hiç duymamıştım. Anladım sorunu. Düşünelim.

---

$\zeta(5)$ in rasyonel mi irrasyonel mi oldugu bilinmiyor. Arafta yani simdilik, peki bunu nereye koyacagiz..

---

Nereye koyacağımızı bilmiyorum, sizin de dediğiniz gibi bilinmiyor işte. Rasyonelse, zaten kümededir. İrrasyonelse, cebirsel olmayan sayılar ve köklü sayılar cinsinden yazılıp yazılamadığına bakarız.

---

@Cagan Her reel sayiyi sadece cebirsel olmayan sayilarin rasyonel (hatta tam sayi, hatta dogal sayi) lineer kombinasyonu seklinde yazabilirsin: $x$ cebirsel ise $x - \pi$ cebirsel olamaz (neden?), dolayisiyla $x = (x-\pi) + \pi$ olarak yazabilirsin. Eger $x$ cebirsel degilse de $x = 1.x$ olarak yazabilirsin. 

Yani, cebirsel olmayan sayilari isin icine katarsan soru kolay. Cebirsel olmayan sayilari cikaralim o zaman. O zaman da sadece koklu sayilari kullanarak cebirsel olmayan sayilari elde edemezsin.

Sorulabilecek asil soru - ki senin sormak istedigin bu bence -: Sadece koklu sayilari kullanarak butun cebirsel sayilari elde edebilir misin? Ekleme: Bunu da Okkes Dulgerci cevaplamis.

Answer 1

$\cos(\frac{\pi}{7}),  \cos(\frac{3\pi}{7}), \cos(\frac{5\pi}{7})$  sayilari  $8x^3-4x^2-4x+1=0$  denkleminin koku yani cebirsel ve irrasyonel bir sayi. Ve koklu ifadelerden bagimsiz..

Comments

Bu ornegi su sitede bulmustum

https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_number

Ordaki diger ornek

$\left\{\tan \left(\frac{3 \pi }{16}\right),\tan \left(\frac{7 \pi }{16}\right),\tan
   \left(\frac{11 \pi }{16}\right),\tan \left(\frac{15 \pi }{16}\right)\right\}$  sayilari  $x^4-4x^3-6x^2+4x+1$ denkleminin koku ve cebirsel ve irrasyonel. Ben bu polinomun koklerini buldugum zaman 

$\left\{ 1-\sqrt{2}-\sqrt{2 \left(2-\sqrt{2}\right)},
   1-\sqrt{2}+\sqrt{2 \left(2-\sqrt{2}\right)}, 1+\sqrt{2}-\sqrt{2
   \left(2+\sqrt{2}\right)}, 1+\sqrt{2}+\sqrt{2
   \left(2+\sqrt{2}\right)}\right\}$

Yani  

$\tan \left(\frac{3 \pi }{16}\right)= 1-\sqrt{2}+\sqrt{2 \left(2-\sqrt{2}\right)}$

$\tan \left(\frac{7 \pi }{16}\right)= 1+\sqrt{2}+\sqrt{2 \left(2+\sqrt{2}\right)},$

$\tan \left(\frac{11 \pi }{16}\right)= 1-\sqrt{2}-\sqrt{2 \left(2-\sqrt{2}\right)},$

$\tan \left(\frac{15 \pi }{16}\right)= 1+\sqrt{2}-\sqrt{2 \left(2+\sqrt{2}\right)},$

Benim sormak istedigim $\cos(\frac{\pi}{7}),  \cos(\frac{3\pi}{7}), \cos(\frac{5\pi}{7})$ sayilari radikallerle ifade edilebilir mi?

WolframAlpha  sunu veriyor:

$\cos(\frac{\pi}{7})=-\frac{1}{2} (-1)^{6/7} (1 + (-1)^{2/7})$

Answer 2

Ayni sayfadaki su ornek daha asikar    $x^5-x-1$  denleminin 1 tane reel koku var ve dolayisiyla cebirsel ve irrasyonel.. Polinomun derecesi 5 oldugundan kokleri radikallerle ifade edilemez..

Comments

"Polinomun derecesi 5 oldugundan kokleri radikallerle ifade edilemez"  ifadesi dogru bir ifade olmadi. Daha dogrusu bu polinom cozulebilir degil Galois teoreminden dolayi..

---

Baska bir ornek $x^5-4x+2$ 

http://math.stackexchange.com/questions/837948/proving-that-a-polynomial-is-not-solvable-by-radicals