ikinci dereceden bir denklemin kökleri $ x_1<1<x_2$ şartını sağlarsa

Question

$(m^2-9)x^2 + 5x + 2m + 5 = 0$ denkleminin kökleri $x_1$ve $ x_2$ dir.

$ x_1<1<x_2$ olduğuna göre m kaç farklı tam sayı değeri alabilir?

iki farklı kök olduğu için diskriminant 0'dan büyüktür dedim. $-8m^3 + 20m^2 - 72m - 155 > 0$ gibi bir ifade geldi. çıkamadım içinden aklıma da başka bir şey gelmiyor..

Answer 1

Esitsizlikten $1$ cikartirsak $$x_1-1<0<x_2-1$$ olur. Demek ki $$(x_1-1)(x_2-1)<0$$ saglanmali. Bu da $$x_1x_2-(x_1+x_2)+1=\frac{2m+5}{m^2-9}+\frac{5}{m^2-9}+1<0$$ yani $$\frac{(m+1)^2}{(m-3)(m+3)}<0$$ demek. 

Comments

teşekkür ederim :)

Answer 2

$f(x)=ax^2+bx+c$ parabolünün $x$ eksenini kestiği noktalar $x_1,x_2$ olsun.  Eğer  $x_1<k<x_2$  ise $a.f(k)<0$ dır.  $a=m^2-9,\quad k=1$  olduğundan $(m^2-9).[m^2-9+5+2m+5]<0$ olmalıdır. Buradan $(m^2-9)(m^2+2m+1)=(m-3)(m+3)(m+1)^2<0$ olur. $m\neq -1$ için $(m+1)^2>0$ olduğundan $-3<m<3$ olmalıdır. Demek ki $m\in\{-2,0,1,2\}$ olmalıdır.

Comments

$-1$'i de disa almak gerekli hocam.

---

Evet haklısınız. Düzeltiyorum. Çok teşekkürler.

---

Ancak her iki çözümünde $\triangle=-8m^3-20m^2+72m+205>0$ koşulunda doğru olduğunu unutmamalıyız.

---

Bu kosulu kontrol etmeye gerek yok. $a \cdot f$ parabolunun kollari yukariya dogru. Eger $af(k)<0$ saglanirsa $a\cdot f$ polinomumun ve dolayisiyla da $f$ polinomunun iki koku vardir. 

---

İki kök varsa $a.f(k)$ nın işareti kolların yönünden bağımsız olarak daima negatiftir. Aslına bakılırsa sorunun ifadesine göre de iki kök var! Ama bazen iki kök veriliyor fakat kontrol edildiğinde olmadığı ortaya çıkıyor.