Geometrik Çözüm:
Şunları kullanacağız (sanırım elementer şeyler):
-
Bir paralekenarda kenarların kareleri toplamı köşegenlerin kareleri toplamına eşittir.
-
Bir paralelkenarın köşegenleri birbirini iki eşit parçaya ayırır.
$AB$ nin orta noktasına $Q$ diyelim.
$P$ verilen doğru üzerinde herhangi bir nokta olsun. Üç köşesi $A,B,P$, bir köşegeni $AB$ olan paralelkenarı düşünelim (Dördüncü köşe $P$ nin $Q$ ya göre simetriğidir.)
$|PA|^2+|PB|^2=\frac12(|AB|^2+4|PQ|^2)=10+2|PQ|^2$ olur.
Bunu en küçük yapmak için $|PQ|$ yu en küçük yapan $P$ noktasını yani verilen doğru üzerinde $Q$ ya en yakın noktayı bulmalıyız. Bu da $Q$ da verilen doğruya dik inerek bulunur. Bu uzaklık da (noktadan doğruya uzaklık formülünü bile kullanmadan) şöyle bulunabilir. Doğru üzerindeki en yakın noktaya $C$ diyelim. $Q$ dan çizilen yatay doğrunun, verilen doğruyu kestiği nokta $D$ ise, $DCQ$ (dar açıları $45^{\circ}$ olan, dolayısıyla ikizkenar) bir dik üçgendir.Hipotenüsü kolayca 4 olarak bulunur. Burada dik kenarlar (dolayısıyla $Q$ nun verilen doğruya uzaklığı) $\frac4{\sqrt2}=2\sqrt2$ bulunur.
$|CA|^2+|CB|^2=10+16=26$ olur.