Düzlemde $A(1,0), B(5,2)$ noktaları veriliyor. $y=x+2$ doğrusu üzerinde, $|AC|^2+|CB|^2$ minimum olmasını sağlayan bir $C$ noktası alınıyor. Bu durumda $|AC|^2+|CB|^2=?$ Şeklindeki bir TÜBİTAK 2017 olimpiyat sorusu için kaç farklı çözüm üretebiliriz?

Question

Merhabalar;

$\text{Soru}$

Düzlemde $A(1,0),\quad B(5,2)$ noktaları veriliyor. $y=x+2$ doğrusu üzerinde $|AC|^2+|BC|^2$ minimum olmasını sağlayan bir $C$ noktası alınıyor. Bu durumda $|AC|^2+|CB|^2=?$ (Aldığım kaynakta da direk soru işaretiyle bitiyor.)

$\text{Çözümüm}$ 

Seçeceğimiz $C$ noktası eğer $y=x+2$ doğrusu üzerinde ise bu noktayı $C(x,x+2)$ şeklinde gösterebiliriz şimdi $|AC|$ ve $|CB|$ uzunluklarını bu ifadeye dayanarak bulalım: $$|AC|=\sqrt{(x-1)^2+(x+2)^2}$$ $$|CB|=\sqrt{(x-5)^2+(x+2-2)^2}$$ bulunur eğer bu ifadelerin karesini alır ve toplarsak $$4x^2-8x+30$$ buluruz ve buradan bu parabolün minimum değerini bulmak için türev veya $r=-b/2a$ kullanılarak $f'(x)=(4x^2-8x+30)'=8x-8=0\Rightarrow x=1$ ve $f(1)=26$ bulunur.

Benim merak ettiğim bu soruyu çözmek için daha elementer ne yöntemler kullanabiliriz, mesela $A.G.O$ eşitsizlikleri yahut karesel ortalama aritmetik ortalama gibi eşitsizliklerle yapabileceğimiz bir şey var mı?

Comments

Bu seneki sınavın sorularını hiç beğenmedim ya bune :)

---

:) Soruyu yazarken değerini bulunuz demeye bile erinmiş adamlar, direk soru işareti. Neyse bu seneninkilere bakacağız artık, umarım daha özenli hazırlarlar.

Answer 1

Geometrik Çözüm:

Şunları kullanacağız (sanırım elementer şeyler):

1. Bir paralekenarda kenarların kareleri toplamı köşegenlerin kareleri toplamına eşittir.
   
2. Bir paralelkenarın köşegenleri birbirini iki eşit parçaya ayırır.
   

$AB$ nin orta noktasına $Q$ diyelim.

$P$ verilen doğru üzerinde herhangi bir nokta olsun. Üç köşesi $A,B,P$, bir köşegeni $AB$ olan paralelkenarı düşünelim (Dördüncü köşe $P$ nin $Q$ ya göre simetriğidir.)

$|PA|^2+|PB|^2=\frac12(|AB|^2+4|PQ|^2)=10+2|PQ|^2$ olur.

Bunu en küçük yapmak için $|PQ|$ yu en küçük yapan $P$ noktasını yani verilen doğru üzerinde $Q$ ya en yakın noktayı bulmalıyız. Bu da $Q$ da verilen doğruya dik  inerek bulunur. Bu uzaklık da (noktadan doğruya uzaklık formülünü bile kullanmadan) şöyle bulunabilir. Doğru üzerindeki en yakın noktaya $C$ diyelim. $Q$ dan çizilen yatay doğrunun, verilen doğruyu kestiği nokta $D$ ise, $DCQ$ (dar açıları $45^{\circ}$ olan, dolayısıyla ikizkenar)  bir dik üçgendir.Hipotenüsü kolayca 4 olarak bulunur. Burada dik kenarlar (dolayısıyla $Q$ nun verilen doğruya uzaklığı) $\frac4{\sqrt2}=2\sqrt2$ bulunur.

$|CA|^2+|CB|^2=10+16=26$ olur.

Comments

Değerli cevabınız için teşekkür ederim hocam.

---

$A$ noktasının verilen doğruya göre simetriği olan nokta $A'(-2,3)$ dır.  $A'B$ doğrusunun verilen doğruyu kestiği nokta $K(5/8,21/8)$ olup, $|KA|+|KB|$ minimum olduğu halde neden $|KA|^2+|KB|^2$ minimum olmuyor acaba?

---

Ornek verecek olursak:

$1+6=7$ ve $1^2+7^2=50$
$4+4=8$ ve $4^2+4^2=32$

$a+b>c+d$ olmasi $a^2+b^2>c^2+d^2$ olmasini gerektirmiyor.