Ben bu soruyu $$n^n\equiv 2 \mod 13$$ icin cozup tum tam sayi cozumlerini verecegim. Bu sekilde genel cozumun de nasil yapilacagi hissedilir.
___________________________________________________________
1) Bu sistemin bir cozumu var ise sonsuz tane cozumu vardir:
Bunu gormek icin iki bilgi kullanacagiz:
1a) $k$ bir tam sayi olmak uzere $$n+13k \equiv n \mod 13$$ saglanir.
1b) $n$ ile $13$ aralarinda asal olmak uzere $$n^{12}=1 \mod 13$$ saglanir. (Cunku $13$ asal bir sayi).
Dolayisi ile $$(n+12\cdot 13)^{n+12\cdot 13}$$ ilkinden dolayi $$n^{n+12\cdot13}$$ ifadesine ve ikincisinden dolayi $$n^n$$ ifadesine denk olur. Bu da bize bir cozum var ise sonsuz tane cozum olacagini verir.
__________________________________________
2) $2^a \mod 13$ degerlerini inceleyelim. Sirasiyla $$2,4,8,3,6,12,11,9,5,10,7,1$$ olur. Dolayisiyla her $13$ ile arasinda asal bir $n$ icin $a\in \{1,\cdots,12\}$ vardir ki $$n\equiv 2^a \mod 13 $$ olur. O zaman $$n^n \equiv (2^a)^n =2^{an} \equiv 2^1 \mod 13$$ icin cozum bulmaya calisalim.
______________________________
3) $2^a$ dedigiklerimiz $\mod 13$ icerisinde periodu $12$ olan bir dizi.. Dolayisi ile $$an \equiv 1 \mod 12$$ olmali.
________________________________
4) Demek ki $a$ ile $12$ arasinda asal olmali. Bu da bize $$a\in \{1,5,7,11\}$$ olmasi gerektigini soyler.
________________________________
5) Bu $a$ degerine karsilik gelen $n$ degerleri (2. maddeye bakiniz)
$a=1$ ise $n\equiv 2^1\equiv 2 \mod 13$
$a=5$ ise $n\equiv 2^5\equiv 6 \mod 13$
$a=7$ ise $n\equiv 2^7\equiv 11 \mod 13$
$a=11$ ise $n\equiv 2^{11}\equiv 7 \mod 13$
olur....
__________________
6) (3. maddede) $$an \equiv 1 \mod 12$$ olmali demistik. (5. madde ile)
$a=1$ ise $an\equiv 1\cdot(2+13k) \equiv 2+k \mod 12$
$a=5$ ise $an\equiv 5\cdot(6+13k) \equiv 6+5k \mod 12$
$a=7$ ise $an\equiv 7\cdot(11+13k)\equiv 5+7k \mod 12$
$a=11$ ise $an\equiv 11\cdot(7+13k)\equiv 5+11k \mod 12$
___________________________
7) Sonuclarin $1$'e denk olmasini istedigimizden
$a=1$ ise $k\equiv 11 \mod 12$
$a=5$ ise $k\equiv 11\mod 12$
$a=7$ ise $k\equiv 8\mod 12$
$a=11$ ise $k\equiv 4 \mod 12$
_______________________________
8) Dolayisi ile
$a=1$ ise $n\in \{2+13(11+12k) \: | \: k \in \mathbb Z\}=\{145+156k \: | \: k \in \mathbb Z\}$
$a=5$ ise $n\in \{6+13(11+12k) \: | \: k \in \mathbb Z\}=\{149+156k \: | \: k \in \mathbb Z\}$
$a=7$ ise $n\in \{11+13(8+12k) \: | \: k \in \mathbb Z\}=\{115+156k \: | \: k \in \mathbb Z\}$
$a=11$ ise $n\in \{7+13(4+12k) \: | \: k \in \mathbb Z\}=\{59+156k \: | \: k \in \mathbb Z\}$
olur ve birlesimleri tum cozumleri verir.