Su ara edinmis oldugum bir gozlemi/bilgiyi soru olarak paylasayim. Bence hos ve faydali bir soru.
Ilk olarak birkac bilgi vermek istiyorum:
$p$ asal olmak uzere... $p\equiv 1 \mod 4$ olsun. Bu durumda $$\sqrt{p} \in \mathbb Q(w_p)$$ olur. ($w_{n}$ ile birin esas $n$. kokunu imgeleyecegim). Eger $p \mid n$ ise $$\sqrt{p} \in \mathbb Q(w_p) \subset \mathbb Q(w_n)$$ yani $$ \mathbb Q(\sqrt{p}) \subset \mathbb Q(w_n)$$ saglanir ve genisleme derecesi $$\frac{\phi(n)}{2}$$ olur. Ayni sekilde $p\equiv 3 \mod 4$ ise $$\sqrt{-p} \in \mathbb Q(w_p)$$ olur. Eger $p \mid n$ ise $$ \mathbb Q(\sqrt{-p}) \subset \mathbb Q(w_n)$$ saglanir ve genisleme derecesi $$\frac{\phi(n)}{2}$$ olur.
Soru su: Eger direkt $\mathbb Q$ uzerinde sorsaydik minimal polinom $\Phi_n(x)$ olurdu ($n$. siklotomik polinom). Bu alisageldik bir bilgi. Peki $\mathbb Q(\sqrt p)$ (ya da $\mathbb Q(\sqrt {-p})$) uzerindeki minimal polinom ne olur? (Tabii ispat olarak ne oalcagini soruyorum. Tahmin etmek zor degil gibi).