Olay serinin fonksiyona yakinsamasi ile ilgili bu nedenle `Taylor Hata Payi'ni bilmekte fayda var. Hata payinin mutlagi sifira giderse yakinsamayi elde ederiz.
Sav 1: $f$ fonksiyonu icin $f^{\prime\prime}$ fonksiyonu $a$ elemanini iceren bir acik $I$ araliginda surekli olsun ve $x$ de $I$ araliginda bir eleman olsun. Bu durumda $$f(x)=f(a)+(x-a)f^\prime(a)+\int_a^x(x-t)f^{\prime\prime}(t)dt$$ olur.
Ispat: Integral ile ilgilenelim. $u=x-t$ ve $f^{\prime\prime}(t)dt=dv$ dersek $du=-dt$ olur ve $v=f^\prime(t)$ olarak secebiliriz. Bu durumda $$\int_a^x(x-t)f^{\prime\prime}(t)dt=\left[(x-t)f^\prime(t) \right]_{t=a}^{t=x}+\int_a^xf^\prime(t)dt$$ olur. Sagdaki integralde Hesabin Temel Teoremini kullanirsak$$\hspace{19mm}=\left[(x-t)f^\prime(t) \right]_{t=a}^{t=x}-\left[f(t) \right]_{t=a}^{t=x}$$ $$\hspace{23mm}=[0-(x-a)f(a)]+[f(x)-f(a)]$$ olur. Dolayisiyla $$f(x)=f(a)+(x-a)f^\prime(a)+\int_a^x(x-t)f^{\prime\prime}(t)dt$$ olur.
Sav 2: $n\ge1$ bir tam sayi olmak uzere $f$ fonksiyonu icin $f^{(n+1)}$ fonksiyonu $a$ elemanini iceren bir acik $I$ araliginda surekli olsun ve $x$ de $I$ araliginda bir eleman olsun. Bu durumda $$\frac1{n!}\int_a^x(x-t)^nf^{(n+1)}(t)dt=f(x)-\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$$ olur.
Ispat: (Tumevarim): $n=1$ durumu icin ispatlamistik. $n=m\ge 1$ durumu icin dogru oldugunu kabul edelim.
$u=(x-t)^{m+1}$ ve $f^{(m+2)}(t)dt=dv$ dersek $du=-(m+1)(x-t)^{m-1}dt$ olur ve $v=f^{(m+1)}(t)$ olarak secebiliriz. Bu durumda $$\frac{1}{(m+1)!}\int_a^x(x-t)^{m+1}f^{(m+2)}(t)dt$$$$=\left[\frac{1}{(m+1)!}(x-t)^{m+1}f^{(m+1)}(t) \right]_{t=a}^{t=x}+\frac{m+1}{(m+1)!}\int_a^x(x-t)^mf^{(m+1)}(t)dt$$ $$=[0-\frac{1}{(m+1)!}(x-a)^{m+1}f^{(m+1)}(a)]+f(x)-\sum_{k=0}^m\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$$ $$=f(x)-\sum_{k=0}^{m+1}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$$ olur.
Sav 3: $n\ge1$ bir tam sayi olmak uzere $f$ fonksiyonu icin $f^{(n+1)}$ fonksiyonu $a$ elemanini iceren bir acik $I$ araliginda surekli olsun ve $x$ de $I$ araliginda bir eleman olsun. Bu durumda $a$ ile $x$ arasindaki bir $c$ sayisi icin $$\frac1{n!}\int_a^x(x-t)^nf^{(n+1)}(t)dt=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$ saglanir.
Ispat: $g(t)=(x-t)^n$ fonksiyonu $a$ ile $x$ arasinda isaret degistirmiyor. Dolayisiyla Integraller icin Agirlikli Ortalama Deger Teoremini kullanirsak $a$ ile $x$ arasinda oyle bir $c$ degeri vardir ki $$\int_a^x(x-t)^nf^{(n+1)}(t)=f^{(n+1)}(c)\int_a^x(x-t)^ndt=f^{(n+1)}(c)\cdot\left[-\frac{(x-t)^{n+1}}{n+1}\right]_{t=a}^{t=x}$$ $$=\frac{f^{(n+1)(c)}}{n+1}(x-a)^{n+1}$$ olur ve dolayisiyla $$\frac1{n!}\int_a^x(x-t)^nf^{(n+1)}(t)dt=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$ olur.