Delta 0dan küçük ise artan olduğu aralık ve konkavlık nasıl bulunur?

Question

Diyelim ki şöyle bir fonksiyon olsun;

$f(x)=2x^3-3x^2+12x$

Artan olduğu aralık için fonksiyonun türevini 0'a eşitleyemiyoruz, en azından reel olarak.

Ancak bunun grafiğine baktım ben ve artan ve azalan olduğu bir aralık var, bunları nasıl tespit ederiz simetri ekseni, T(r,k)dan mı?

Ve mesela bu fonksiyonun integralinde konkavlığı bulmak için de bu reel kökü olmayan denklemi kullanacağız.Burada nasıl bir yol izleyeceğiz,

Aslında genel olarak sormak istediğim soru şuydu:

Reel kökü olmayan bir denklemde hangilerinin çözümünden söz edilebilir (aslında grafiğe bakılarak söylenebilir ama bazı siteler hesaplama sonucu olarak "None" karşılığı verebiliyor)

1-Kritik noktalar

2-Artan/azalan olduğu aralık

3-Yerel minimum/maksimum noktaları (Dolayısıyla mutlak mak./min. noktalar)

4-Konkav yukarı/aşağı olduğu aralık

5-Büküm noktaları

6-Asimptotlar

Comments

T(r,k) nedir?

---

Parabollerle ilgili olan Tepe noktasi olsa gerek. Fakat buradaki ucuncu dereceden bir polinom.

---

Evet ben de tepe noktası T(r,k) düşünmüştüm, 3.dereceden denklemde bulamazmıyız onu?

---

türevini aldığında oluşan 2. dereceden denklemin diskriminantı sıfırdan küçük geldiği taktirde elindeki fonksiyonun daima artan ya da azalan olduğunu gözlemlemiş olursun buradaki fonksiyonda türevin başkatsayısı pozitif olduğu için daima artandır. hatta grafiğini çizdiğimizde de şekildeki sonuç çıkar.

konkav yada konveks olduğunu incelemek için ihtiyacımız ikinci türev o da;

$f(x)=2x^3-3x^2+12x \Rightarrow f'(x)=6x^2-6x+12 \Rightarrow f(x)''=12x-6$

$12x-6=0$ dan $x=\frac{1}{2}$ noktasında gelir.

---

Pekala teşekkürler, yalnız gösterdiğin grafik türevinin grafiği değil ki, o grafikte daima artan değil.Ve ayrıca ben integralinin konkavlığını sormuştum ki onunda deltası 0dan küçük.

---

bir fonksiyonun artanlıgını azalanlıgını turev grafıgı ıle ıncelemezsın,turev sadece yol gosterıcı hareketı yapar..artan fonksiyon ne demek ona bakmak lazım belki de..ayrıca ıntegralının konkavlıgını nerede sordun ve ben senı anlamakta gercekten gucluk cekıyorum..ama ıstersen fonksıyonların artanlıgı ve azalanlıgı ya da konkavlıgı konvekslıgı hakkında kucuk bır bılgı vereyım..

f fonksıyonunun artan yada azalan olması 1.türevi ilgilendirir çünkü 1. türev bize fonksiyonun istediğimiz noktada çizdiğimiz teğetlerin eğimini verir. teğetin tanımlanamadığı yanı türevin sıfır oldugu yerler iste fonksiyonumuz için artanlıktan azalanlığa yada azalanlıktan artanlığa geçen yerel ekstremumlarımızı oluşturur..şimdi verdiğin fonksiyon örneğinin 1. türevinde diskriminant sıfırdan küçük bunun anlamı ise reel x değerlerine sahip kökü yok yani türev grafiği x eksenini kesmez o zaman ne olur..iste o zaman kök oluşmadığı için f fonksiyonumuz ya daima artar ya da daima azalır..ama konvekslik yada konkavlık 2. türevin ya da şöyle ki 1. türevin yerel ekstremumları ile belirlenir..esas fonksiyonun 2. türevinin sıfıra eşit olduğu noktaları var ise bize o noktalar kritik noktaları yani işaret tablosunun durumuna göre fonksiyon grafiğinin kolları hakkında fikir verir..

gelelim son yazdığın integralinin konkavlığı kısmına fonksiyonun integralinin konkavlığı dersen aslında 1. türevinin kokunu aramış olursun çünkü integralinin 1. türevi elimizdeki f fonksiyonunu verir..ve 2. türevi ise f fonksiyonunun 1. türevini ki f fonksiyonunun 1. türevinin konkavlık yada konvekslık hakkındaki yorumu oyle bir dönüşün olmadığıdır..

---

Bence de ya ben anlatamıyorum ya siz güçlük çekiyorsunuz...

Nerde yazdığımı sormuşsunuz, sorumun içinde vardı o zaten.Ayrıca integralinin türevinde kastettiğim şey anlaşılmamış. Demek istediğim ilk önce integralini alıyoruz: $[x^2(x^2-2x+12)]/2$ şimdi konkavlığa bakıyoruz -ki; deltası 0dan küçük olabilsin.İntegralinin türevini sormamıştım yani.Ve son olarak, artanlık azalanlık hususunda hata yapmışım, o konuyu daha iyi anladım şimdi.