Saglamayan ornek olarak $$y=\pi x$$ dogrusunu ele alalim. Bu dogru uzerindeki noktalarin kumesi $$\{(k,k\pi) \: | \: k \in \mathbb R\}$$ olur. $k=0$ ise $(0,0)$ bir kafes noktasi olur. $k\ne 0$ oldugu durumu inceleyelim. $$(k,k\pi)\in \mathbb Z^2$$ olmasi icin $$k,\; k\pi \in \mathbb Z$$ olmali. Dolayisi ile $$\pi=\frac{k\pi}{k}\in \mathbb Q$$ olmali. Bu da celiski verir. Dolayisi ile $(0,0)$ disinda bir kafes noktamiz olmaz.
Bu mantikla sunu ispatlayabiliriz: Orijinden gecen $$y=ax$$ dogrusu $(0,0)$ disinda bir kafes noktasi icerir ancak ve ancak $a$ rasyonel bir sayidir.
Irrasyonel ise yukaridaki $\pi$ yerine $a$ yazdigimizda sonucu elde ederiz.
Rasyonel ise $a=p/q$ olacak sekilde bir $(p,q)$ tam sayi ikilisi vardir ve dogru $(q,p)$ noktasindan gecer.
* $x=0$ dogrusunda (ve $y=0$ dogrusunda) zaten $k$ tam sayi olmak uzere her $(0,k)$ (ve $(k,0)$) kafes noktasidir.