İki ve Üç Kat Açılı Üçgenler

Question

Bir açısı diğer açısının iki katı ve üç katı olan üçgenlerin kenar uzunlukları arasında bir bağıntı bulunuz.

Paylaşım amaçlı.

Comments

Alper hocam 

Bu kıstas aynı üçgen de mi sağlanacak? Yani 2x,3x ve 6x açılarına sahip üçgenler gibi mi?

Selamlar

---

Bir ABC üçgeninde m<A=m<2B  iken başka bir ABC üçgeninde m<A=m<3B olmasını istiyoruz. 20,40 üçgeni veya 20,60 üçgeni gibi.

---

Açıklama iyi oldu Alper hocam. 

Selamlar

---

Selamlar. Gerçek isminiz ne acaba? Bu nick olayından doğrusu hiç hoşlanmıyorum, karanlıkta sohbet etmek gibi.

---

Yıllar önce okuduğum bir kitaptaki matematikçi  buskerhaund idi.kaldi  öyle 

İsmim Engin,Alper hocam 

Selamlar

---

Alper hocam

Anladığım kadarıyla aynı ABC üçgeninden bahsediyoruz.

Nasıl desem ;bir ABC üçgeninin açıları $\alpha$  ve  $2\alpha$  iken $2\alpha$ 'yı  $3\alpha$  'ya genişlettip kenarlar arasında nasıl bir bağıntı var ona bakıyoruz.

Doğru mu anladım?

---

Hem $\alpha$  ve $2\alpha$  ucgeni hem de $\alpha$

$3\alpha $ ucgeni icin ayri ayri kenarlar arasinda bir bağıntı bulmaliyiz.

Answer 1

$ABC$ üçgeninin iç açı ölçüleri sırası ile $\alpha,2\alpha,180-3\alpha$ ve kenar uzunlukları da sırası ile $a,b,c$ olsun. Eğer $B$ açısının iç açı ortayı karşı kenarı $D$ noktasında kesiyorsa,

$CDB$ ile $CBA$ üçgenleri benzer olacak ve $\frac xa=\frac ab\Rightarrow a^2=xb......(1)$ eşitliği bulunacaktır. Öte yandan iç açı ortay teoreminden $\frac ac=\frac{x}{b-x}\Rightarrow x=\frac{ab}{a+c}...(2)$ elde edilecektir. $(2)$ eşitliği $(1)$ de kullanılırsa $a^2+ac=b^2$ eşitliği elde edilecektir. 

$\alpha,3\alpha$ durumu için de benzer bir yaklaşım olabileceği gibi sinüs teoremi de olabilir.

Answer 2

Tesekkurler Mehmet Hocam.

$AB$ isinini $a$  kadar uzatalim ve  $ADC$  ucgenini olusturalim. Bu durumda  $AC=CD$  olacaktir. ADC ucgenine Stewart teoremini uygulayalim:

$a^2=b^2-a.c$   veya  $b^2=a^2+ac$  bulunur.

Answer 3

$ABC$  üçgenine sinüs teoremi uygularsak $\dfrac{b}{\sin2\alpha}=\dfrac{a}{\sin\alpha}$  eşitliğinden $$\cos\alpha=\dfrac{b}{2a}$$   olur. Şimdi üçgene kosinüs teoremi uygular ve  $\cos\alpha$     değerini kullanırsak  $$a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha=b^2+c^2-\dfrac{cb^2}{a}$$    eşitliğinden  $$b^2=a(a+c)$$   bulunur.

Answer 4

Bir açısı diğer açısının $3$   katı olan üçgenler için ilgili bağlantı incelenebilir: http://geomania.org/forum/index.php?topic=6350.0

Bu soruyla ilgili soru