$\sin 18^{\circ}$ veya $\sin 54^{\circ}$ gibi değerlerin hesaplanması

Question

$\sin18$  veya  $\sin54$  gibi değerlerin hesabını nasıl yaparız?

Amaç, bildiğimiz/bilmediğimiz çözümleri görmek. ilgili soru

Comments

Ben de bu ara bunlari toparliyorum... Iyi oldu.

---

Sercan hocam senin toplam fark ispatlarini da burada paylas bence.

---

Onlari iyicene duzenleyip kitap yapasim var ama burada da paylasabilirim... Nasilini dusunmem gerekli... Alt alta yazsam sayfa dolar, uc bes cevaba bolmek gerekli gibi, dusuneyim bunu.

Answer 1

Geometrik bir çözüm olarak; Saatin tersi yönünde $ABCDE$ noktalarını bir düzgün beşgen oluşturacak şekilde çizelim. $|BE|$ ve $|AC|$ köşegenlerini çizelim. $BE\cap AC=P$ olsun. $|AP|=|PB|=b$ ve $|PE|=|AE|=|AB|=a$ olduğunu görelim. Sonra bu $ABE$ üçgenini dışarı taşıyalım, $APE$ üçgeninde $E$'den $|PA|$'ya bir dikme inilirse $\sin18^\circ=\dfrac{b}{2a}$ olur. $Q\in|PC|$ ve $|AQ|=|AP|$ olacak şekilde bir nokta seçelim ve ayrıt çizelim, $|PQ|$'ya bir dikme inilirse buradan da $\sin18^\circ=\dfrac{a-b}{2b}$ olduğu görülür. Son darbe: $$\sin18^\circ=\dfrac{a-b}{2b}=\dfrac{b}{2a}\Rightarrow a^2-ab-b^2=0$$ Bu denklemi $a$'ya göre çözersek $a=b\left(\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\right)$ olduğunu görürüz. ($a$ ve $b$ pozitif olmalıdır.) $$\sin18^\circ=\dfrac{b}{2a}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}$$ olduğu görülür.

Comments

Geometriyi yazi olarak yazinca bana geometrik gelmiyor:)

---

Bana da:) , takip etmesi de zor oluyor. Müsait olunca temiz bir şekil atarım belki. Şu geogebrayı da hala öğrenemedim:(

---

Ben LaTeX'le cizmeye basladim. Daha kolay. 

---

LaTeX'le çizim yaptıran bir editör olsa aslında, ben en iyi editorlerden öğreniyorum, karıştırıyorum. Boşluk yapmayı, aralık, satır atlatmayı da sizin çözümleri inceleye inceleye öğrendim zaten:)

---

Sen bir tane kur, ben sana cizdigim sekilleri atarim. Bu insta'da paylastiglarimi falan. Bu linktede ilk girisi vermisler. Zaten bunlarla bircogu cizilebiliyor...

---

Kolay gözüküyor gerçekten, bilgisayara geçince kurayım hemen. Sağolun hocam:)

---

A,P ve C noktaları doğrusal değil mi Deniz? O zaman APC üçgeni oluşmaz.

---

Yanlış yazmışım, uyardığınız için sağolun hocam.

Answer 2

Bir iki esitlik yazarsak $$\sin 18^\circ=\cos 72^\circ=2\cos^236^\circ-1=2(1-2\sin^218^\circ)^2-1$$ esitligi bize $\sin18^\circ$ degerinin $$8x^4-8x^2-x+1=0$$ denkleminin koku oldugunu verir. Bu polinomun rasyonel koklerini bulmak kolay. $1$ ve $-1/2$ iki koku olur (be bunlar $\sin18^\circ$ degerine bariz olarak esit olmaz). Dolayisiyla $$8x^4-8x^2-x+1=(x-1)(2x+1)(4x^2+2x-1)$$ olarak carpanlarina ayrilir. Geriye kalan iki kok ise $$\frac{-1\pm\sqrt5}{4}$$ olur. $\sin18^\circ$ pozitif oldugundan degeri $$\frac{\sqrt5-1}{4}$$ olmali olur. Buradan $$\sin54^\circ=\cos 36^\circ=1-2\sin^218^\circ=1-2\frac{(\sqrt5-1)^2}{4^2}=\frac{\sqrt5+1}{4}$$ olur.

Answer 3

Diger cevaplarda bulundugundan sadece yontem olarak yazacagim:

Kompleks olarak $$z=\cos72^\circ+i\cdot \sin72^\circ$$ dusunelim. Bunun $5$. kuvveti $1$'e esit olur ve $z=1$ olmadigindan $$z^4+z^3+z^2+z+1=0$$ saglanir. Bunu cozmek basit, yontemini vereyim. 

$z\ne 0$ oldugundan $$z^2+z+1+\frac1z+\frac1{z^2}=0$$ saglanir.; yani $$\left( z+\frac1z\right)^2+\left( z+\frac1z\right)-1=0$$ saglanir. Dolayisiyla $$z+\frac1z=\frac{-1\pm\sqrt 5}{2}$$ saglanir. Buradan $$z^2+\frac{1\mp \sqrt5}{2}z+1=0$$ gelir. Buradan da gelecek $4$ kompleks koku bulabiliriz. 


Peki neleri bulduk? Kokler $z,z^2,z^3,z^4$ oldugundan bircok aci icin $\sin$ ve $\cos$ degerlerini hesaplamis olduk. Ayrica $\cos 72^\circ=\sin 18^\circ$ gibi esitlikleri goz onunde bulundurursak yine epey deger bulmus oluruz. 

Comments

Asagidaki soru icin de aslinda bir ornek vermis oldum.  $5\equiv 1 \mod 4 $ oldugundan gercelde de carpanlara ayrildi. 

http://matkafasi.com/112113/kuadratik-cisimler-uzerinde-siklotomik-cisimlerin-polinomlari

Answer 4

Ben de şöyle düşündüm: $$\sin36=\cos54=\cos(36+18)=\cos36\cos18-\sin36\sin18$$   

$$2\sin18\cos18=\cos18(2\cos^218-2\sin^218-1)$$   $$2\sin18=2(1-\sin^218)-2\sin^218-1$$  $$4x^2+2x-1=0$$  denkleminin pozitif kökü olan   $x=\dfrac{\sqrt5-1}{4}$  sayısı  $\sin18^{\circ}$  değerini verir.

Comments

Aslında $\cos36^\circ$ için ilk başta $\sin18^\circ$'li açılımı yazılabilir.

---

Evet o şekilde daha kısa olurdu, teşekkürler Sercan Hocam.

Answer 5

Geometrik olarak Deniz'inkine benzer bir çözüm şöyle olabilir:

Yine saatin tersi yönünde bir kenarı $1$ birim olan  $ABCDE$ düzgün beşgenini çizelim ve $BE$ köşegeni üzerinde taban açıları $36^{\circ}$  ve $|AF|=|BF|=x$  olan $ABF$  ikizkenar üçgenini oluşturalım. ${\triangle}ABF$   benzer  ${\triangle}BEA$  olduğundan $$\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{x}{1}$$  eşitliğinden pozitif kök olarak   $x=\dfrac{\sqrt 5-1}{2}$  bulunur. Şimdi ${\triangle}AFE$  üçgeninde $AF$  tabanına $EK$  dikmesini inersek $$\sin18^{\circ}=\dfrac{\sqrt5-1}{4}$$ bulunur.