$2^x$ ornegi uzerinden gidersek:
Gercel sayilar uzerindeki polinomlari $$\mathbb R[x]=\left\{\sum_{i=0}^na_ix^i \: | \: n\in \mathbb Z^{\ge 0} \ \text{ ve her $0\le i \le n$ tam sayilari icin } \ a_i\in \mathbb R\right\}$$ olarak tanimliyoruz.
$f:\mathbb R \to \mathbb R$ olacak sekilde bir fonksiyon alalim. Burada $f$ fonksiyonun adi. Ilk $\mathbb R$ kumesi $f$ fonksiyonunun tanim kumesi ve ikinci $\mathbb R$ kumesi ise $f$ fonksiyonunun deger kumesidir. Bizim anlamamiz gereken bunlardan ziyade fonksiyonun kurali...
Bu fonksiyonun bircok kurali olabilir: $$f(x)=\max\{x,x^2\}$$ kuralli bir fonksiyonun $$f(x)=\frac{1}{2}(x+x^2+|x-x^2|)$$ de kurali olur. Bunun (dogal) sebebi her $x\in \mathbb R$ icin $$\max\{x,x^2\}=\frac{1}{2}(x+x^2+|x-x^2|)$$ esitliginin saglanmasi.
Soru: $f:\mathbb R \to \mathbb R$ fonksiyonunun kurali $$f(x)=2^x$$ ise $f$ bir polinom olabilir mi?
Yukarida ornegini de verdigimiz uzere bir fonksiyonun birkac kurali olabilir. Peki bu fonksiyonun kuralini bir polinom olarak ifade edebilir miyiz? Sorumuz bu. Belki evet, belki hayir.
Cevabimiz: Hayir, Bunu gostermeye calisalim.
Diyelim ki bir $n \in \mathbb Z^{\ge 0}$ icin $$f(x)=\sum_{i=0}^na_ix^i$$ esitligini her $x\in \mathbb R$ icin saglayan (sabit olan) $a_i$ gercel sayilari var. Bu durumda (turev bilgimizle) her $x\in \mathbb R$ icin $$f^{(n+1)}(x)=0$$ olur. Fakat $2^x$ olan kurali kullanirsak bu saglanmaz: $$f^{(n+1)}(x)=(\ln2)^{n+1}\cdot 2^x$$ olur ve hicbir $x$ degeri icin sifira esit olmaz.
Elbet baska yollarla da ispat yapilabilir.
Bir baska ornek her $x\in \mathbb R$ icin $$|x|^2=|x^2|=x^2$$ esitligini kullanarak verilebilir. $f:\mathbb R \to \mathbb R$ olmak uzere $$f(x)=|x|^2$$ kuralli fonksiyon bir polinomdur.