$H=l_{2}(0,\pi)$ $T=\frac{d^{2}}{dx^{2}} $ operatörünün sınırlı olup olmadığını gösteriniz.Burada
$D(T)={y(x) \in C^{\infty}[0,\pi] \quad y(0)=y(\pi)=0}$ dir.
-----------------
$ T: D(T) = { y(x)\in C^{\infty}[0,\pi], y(0)=y(\pi)=0} $
$ y(x) \rightarrow Ty(x)=-y''(x) $
$x\in[0,\pi]$
şimdi burada operatörün lineer olduğunu bilmiyoruz , o halde bilelim!
$y,z \in D(T)$ $\alpha , \beta $ skalerler olmak üzere $ T(\alpha y + \beta z) = \alpha Ty + \beta Tz $
olduğunu gösterelim.
$x \in [0,\pi] $ için $ T(\alpha y + \beta z)(x) = -(\alpha y + \beta z )^{''}(x)=-\alpha y^{''}(x)-\beta z^{''}(x)=\alpha Ty(x)+ \beta T(z) $
lineer bir operatör aldığımızda sınırlı $ \iff $ süreklidir.
O halde sürekli olduğunu göstermek yeterlidir.
$y(x) \in C^{\infty} [0,\pi] $ olduğundan ikinci mertebeden her zaman türevi vardır. $ x\in [0,\pi] $ aralığında türevli ise süreklidir.Dolayısıyla sınırlıdır.(izninizin olduğu taktirde gelecek olan çözüm ile karşılaştırmak istediğim çözüm)