$(X,\tau)$ topolojik uzay ve $\mathcal{A}:=\{A|A, \ \tau\text{-kompakt}\}$ olmak üzere $$(\mathcal{B}\subseteq \mathcal{A})(|\mathcal{B}|<\aleph_0)\Rightarrow \cap\mathcal{B}\in\mathcal{A}$$ önermesi doğru mudur?

Question

Yani bir topolojik uzayda kompakt kümelerin sonlu sayıda arakesiti de kompakt olmak zorunda mıdır?

Answer 1

$(\mathbb{R},\mathcal{U})$ alışılmış topolojik uzayında $\mathcal{U}$-kompakt kümeler $\mathbb{R}$ kümesinin kapalı ve sınırlı altkümeleridir yani $$\mathcal{A}=\{A|(A\subseteq\mathbb{R})(A, \ \mathcal{U}\text{-kompakt})\}=\{A|(A\subseteq\mathbb{R})(A,\text{ kapalı ve sınırlı})\}.$$ Öte yandan 

$$\mathcal{B}=\{\ \}\subseteq \mathcal{A}$$ ve $$|\mathcal{B}|=|\{\ \}|=0<\aleph_0$$ olmasına karşın $$\cap\mathcal{B}=\mathbb{R}$$ olup $\cap\mathcal{B}$ kümesi $\mathcal{U}$-kompakt değildir. Dolayısıyla önerme yanlıştır.