Denklem ve kökleri yorumlama

Question

Ben şu olayı anlayamıyorum..

Mesela $x^2-x+1=0$ denklemi olsun.

Her iki tarafı $(x+1)$ ile çarparsak;

$(x+1).(x^2-x+1)=0.(x+1) \\ \\ \\ x^3+1=0 \\ \\ \\ x^3=-1$

olur ki bu olay mantıksız geliyor. Neticede olmayan yeni bir kök (-1) yarattık, ama ilk verilen denklemde o kök sağlamıyordu, hatta reel kökü bile yoktu. 

Her istediğimiz denklemi bir kökle çarpabilir miyiz? 

İkinci bir mantık olarak şöyle düsndum;

$x^3=-1$ denklemi içinde ilk denklemin köklerini de barındırıyor. Binevi onu içine alan üst küme. Ama bu denklemi kullanmak doğru olur mu? 

[İlk denkleme $f(x)$ dersek kökü k olursa $k^{62}-k^{61}$ değerini bulmaya çalışırken $x^3=-1$ kullanmak ne kadar doğru? Bir değer bulsak de her zaman doğru mudur? (-1 geliyor) ]

Birde bunları nasıl grafiğe dökebiliriz? Ordan yorumlamak bana daha kolay gelir ama dökemedim pek.. Wolframdan yazınca bana başka kök buluyor benim bulduğum $\frac{1+-\sqrt{3}i}{2}$ . Ayrıca bu kök $x^3=-1$ sağlamıyor galiba ben mi işlem hatası yapıyorum

Sorularım çok fazla oldu farkındayım ama aklımı kurcalıyordu gelmişken hepsini yazayım dedim:) Cevap yazan hocalarıma şimdiden teşekkür ederim

Comments

Kokler gercel denirse kok olmadigindan boskume elde ederiz. Kokler burada karmasik sayilar. Karmasik sayilarin da aritmetigi var.

$x^3+1=0$ polinomunun karmasik sayilar icerisinde uc tane koku var. Biri $-1$ ve diger ikisi karmasik. Bu kokler $v,w$ dersek $v^3=w^3=-1$ esitligi saglanir.

---

Karmaşık köklerin küpleri -1'e eşittir. Ayrıca her bir karmaşık kök $x^2-x+1=0$ denklemini (dolayısıyla $x^3+1=0 denklemini) sağlar.

Şöyleki: 

$(\frac{1+\sqrt3.i}{2})^2-(\frac{1+\sqrt3.i}{2})+1=?$

$(\frac{1+2\sqrt3.i-3}{4})-(\frac{1+\sqrt3.i}{2})+1=?$

$\frac{-2+2\sqrt3.i-2-2\sqrt3.i+4}{4}=\frac{0}{4}=0=?$ olur.

---

@Sercan hocam teşekkür ederim ama sorularıma cevap alamadım ya :(

@MehmetToktaş hocam teşekkürler ama $x^3$ denkelminde o kök sağlamıyor sanırım

---

Bulduğunuz kökleri sonra orijinal denklemde sağlamalısınız. Çözüm kümesini orijinal denklemi sağlayan kökler oluşturur; sağlamayanlar oluşturmaz doğal olarak. Ali Nesin Hoca TRT okuldaki derslerinin birinde bundan bahsediyordu.

---

Sikinti senin ilk yazdigin denklemin domaini ile x+1 ile carptigdaki domaini ayni degil yani aslinda ilk fobksiyonla sonraki ayni degil o yuzden 2. fonksiyonun kokuyle 1.fonksiyonu bagdaştiramassin

---

Biraz şuna benziyor yaptığın: 3 çift sayı değil ama 2 ile çarpınca 6 elde ediyorum. Ve 6 çift sayı. Neden? Çünkü 2'ye bölünüyor. Eskiden bölünmüyordu, ama $2$ ile çarpınca bölündü. 

$2$, $x-3$ polinomunun bir kökü değil. Ama $(x-2)(x-3)$ polinomunun bir kökü. Eskiden bir kök degildi ama şimdi bir kok oldu. Neden? Çünkü elimizle kendimiz ekledik. Aynı yukarıda yaptığımız gibi.