Feynman'ın en çok sevdigi integral numarası (trick) formulünü derive ediniz.

Question

$$I(\alpha)=\displaystyle\int_{a(\alpha)}^{b(\alpha)} f(x,\alpha)\ dx$$ olsun ve $I(\alpha)$, $\alpha$'ya göre türevi sürekli olan bir fonksiyon olsun.


$$\dfrac{dI}{d\alpha}=\displaystyle\int_a^b\dfrac{\partial f}{\partial \alpha}dx+f(b,\alpha)\dfrac{db}{d\alpha}-f(a,\alpha)\dfrac{da}{d\alpha}$$

Oldugunu derive ediniz.

Comments

/partial kismi turev anlamina mi geliyor?

---

temel olarak $\dfrac{d}{dx}$  bu operatorle aynı, bu operator dıyorkı ne koyarsan onun x e gore tam turevını alayım


$\dfrac{\partial }{\partial x}$ bu ise x e göre partial türevini alayım yani diyelim şu partial türeve bakalım
$\dfrac{\partial f}{\partial x}$ ve f fonksiyonu $x,y,z$ ye baglı olsun yani sadece x e baglı degil (f(x,y,z)  diye de yazılır.


$\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}$ f neye baglı olursa olsun x haricindekileri sabit gibi düşünüp sadece x e göre türev al demek.

Örnek:
$f=x^2+3xy+zx^2$ olsun

$$\dfrac{\partial f}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}( x^2+3xy+zx^2)=2x+3y+2zx$$ olur

---

tam türevle farkı ne dersen, örnekteki fonksiyonun tam türevini alırsam şu olur.

$\dfrac{d}{dx}(x^2+3xy+zx^2)=\dfrac{d}{dx}(x^2)+\dfrac{d}{dx}(3xy)+\dfrac{d}{dx}(zx^2)\\\;\\ =\boxed{2x+\underbrace{3y+3x\dfrac{dy}{dx}}_{\dfrac{d}{dx}(3xy)}+\underbrace{\dfrac{dz}{dx}x^2+2zx}_{\dfrac{d}{dx}(zx^2)}}$

$$-------------------------$$

Matematiksel tanımlarıysa şöyle:

Tam türev:

$$\dfrac{d}{dx}f(x)=\lim\limits_{\triangle x\to 0}\dfrac{f(x+\triangle x)-f(x)}{\triangle x}$$

Partial türev:

$$\dfrac{\partial }{\partial x}f(x,y,z)=\lim\limits_{\triangle x\to 0}\dfrac{f(x+\triangle x, y,z)-f(x,y,z)}{\triangle x}$$

---

$$-\dfrac{\partial b}{\partial \alpha} = df(b,\alpha)$$ demek dogru mu?

Duzenleme yaptim.Bu sekilde de olabilir.Notlarim gecen seneye ait biraz yipranmislar.

---

ilk olarak, sağ tarafta neye göre partial alındıgını yazmamışsın, yazsan bile, solda b'nin sağda f'nin alıyorsun nasıl dogru olsun ki. Istersen bu konuyu bir araştırıp iyice oturt, zaten pek zor bir şey degil, lise bilgisi yeter artar.(sanırım)

---

Hemen usttekki yorumu dezenledim.

Dun, bugun cozecegimi soylemistim.Eger baska talep eden olmazsa beklemenizi isteyecegim.Mustafa balcinin analiz kitabinda cok degiskenli fonksiyonlardan baslayip sonuna kadar calisacagim.