Topoloji Elde Etme Yöntemleri-II

Question

$X\neq \emptyset$ küme olmak üzere $\mathcal{M}:X\to 2^{(2^X)}$ fonksiyonu her $x\in X$ için

 
$N_1)$ $(\mathcal{M}(x)\neq \emptyset)(\forall A\in \mathcal{M}(x))(x\in A)$

$N_2)$ $(\forall A\in \mathcal{M}(x))(A\subseteq B\Rightarrow B\in\mathcal{M}(x))$
 
$N_3)$ $(\forall A,B\in \mathcal{M}(x))(A\cap B\in \mathcal{M}(x))$
 
$N_4)$ $(\forall A\in \mathcal{M}(x))(\exists B\in \mathcal{M}(x))[B\subseteq A \wedge (\forall y\in B)(B\in \mathcal{M}(y))]$

koşullarını sağlasın.

$\mathbf{a)}$ $\mathcal{M}$ fonksiyonu $N_1,$ $N_2$ ve $N_3$ koşullarını sağladığında $X$ kümesinin $$\forall x(x\in A\Rightarrow A\in\mathcal{M}(x))$$ koşulunu sağlayan tüm altkümelerinin oluşturduğu ailenin $X$ kümesi üzerinde bir topoloji olduğunu gösteriniz. $($Yani $\tau =\left\{A| (\forall x\in A)(A\in\mathcal{M}(x))\right\}\subseteq 2^X$ ailesinin $X$ kümesi üzerinde bir topoloji olduğunu gösteriniz.$)$

 
$\mathbf{b)}$ $\mathcal{M}$ fonksiyonu $N_1,$ $N_2$ ve $N_3$ koşullarına ilave olarak $N_4$ koşulunu da sağladığında $\mathcal{M}(x)=\mathcal{N}(x)$  $(a$ şıkkında elde edilen $\tau$ topolojisine göre) olduğunu gösteriniz.

Comments

$a)$  $T_1)$ $\emptyset,X\overset{?}{\in}\tau$

$$\forall x(x\in \emptyset\Rightarrow\emptyset\in\mathcal{M}(x))\equiv 1$$ yani $$\forall x(x\in \emptyset\Rightarrow\emptyset\in\mathcal{M}(x))$$ önermesinin doğru olduğunu göstermeliyiz.
$$\forall x(x\in \emptyset\Rightarrow \emptyset\in\mathcal{M}(x))$$ önermesi doğru olduğundan $$\emptyset\in \tau$$ olur.

Şimdi de $X\in\tau$ olduğunu gösterelim. $x\in X$  olsun.
$$x\in X\overset{N_1}{\Rightarrow} \mathcal{M}(x)\neq \emptyset\Rightarrow(\exists A\subseteq X)(A\in\mathcal{M}(x))\overset{N_2}{\Rightarrow} X\in\mathcal{M}(x)$$ olduğundan $$X\in \tau$$ olur.

$T_2)$ $A,B\in\tau$  ve  $x\in A\cap B$  olsun. Amacımız $A\cap B\in \tau$ olduğunu göstermek. Bunun için de $A,B\in\tau$  ve  $x\in A\cap B$ iken $A\cap B\in \mathcal{M}(x)$ olduğunu göstermeliyiz.

$$\left.\begin{array}{rr} x\in A\cap B\Rightarrow (x\in A)(x\in B) \\ \\ A,B\in\tau \end{array}\right\}\Rightarrow A,B\in\mathcal{M}(x)\overset{N_3}{\Rightarrow} A\cap B\in\mathcal{M}(x).$$

$T_3)$ $\mathcal{A}\subseteq \tau$  ve  $x\in \bigcup\mathcal{A}$  olsun. Amacımız $\bigcup \mathcal{A}\in \tau$ olduğunu göstermek. Bunun için de $\mathcal{A}\subseteq \tau$  ve  $x\in \bigcup\mathcal{A}$ iken $\bigcup\mathcal{A}\in\mathcal{M}(x)$ olduğunu göstermeliyiz.

$$\left.\begin{array}{rr} x\in \bigcup\mathcal{A}\Rightarrow (\exists A\in\mathcal{A})(x\in A) \\ \\ \mathcal{A}\subseteq \tau \end{array}\right\}\Rightarrow \left(A\subseteq \bigcup\mathcal{A}\right)\left(A\in\mathcal{M}(x)\right)\overset{N_2}{\Rightarrow} \bigcup\mathcal{A}\in\mathcal{M}(x).$$

Answer 1

$a)$  $T_1)$ $\emptyset,X\overset{?}{\in}\tau$

$$\forall x(x\in \emptyset\Rightarrow\emptyset\in\mathcal{M}(x))\equiv 1$$ yani $$\forall x(x\in \emptyset\Rightarrow\emptyset\in\mathcal{M}(x))$$ önermesinin doğru olduğunu göstermeliyiz.
$$\forall x(\underset{0}{\underbrace{x\in \emptyset}}\Rightarrow \underset{p}{\underbrace{\emptyset\in\mathcal{M}(x)}})\equiv \forall x(0\Rightarrow p)\equiv \forall x 1\equiv 1$$ yani $$\forall x(x\in \emptyset\Rightarrow\emptyset\in\mathcal{M}(x))$$ önermesi doğru olduğundan $$\emptyset\in \tau$$ olur.

Şimdi de $X\in\tau$ olduğunu gösterelim. $x\in X$  olsun.
$$x\in X\overset{N_1}{\Rightarrow} \mathcal{M}(x)\neq \emptyset\Rightarrow(\exists A\subseteq X)(A\in\mathcal{M}(x))\overset{N_2}{\Rightarrow} X\in\mathcal{M}(x)$$ olduğundan $$X\in \tau$$ olur.

$T_2)$ $A,B\in\tau$  ve  $x\in A\cap B$  olsun. Amacımız $A\cap B\in \tau$ olduğunu göstermek. Bunun için de her $x\in A\cap B$ için $A\cap B\in \mathcal{M}(x)$ olduğunu göstermeliyiz.

$$\left.\begin{array}{rr} x\in A\cap B\Rightarrow (x\in A)(x\in B) \\ \\ A,B\in\tau \end{array}\right\}\Rightarrow A,B\in\mathcal{M}(x)\overset{N_3}{\Rightarrow} A\cap B\in\mathcal{M}(x).$$

$T_3)$ $\mathcal{A}\subseteq \tau$  ve  $x\in \bigcup\mathcal{A}$  olsun. Amacımız $\bigcup \mathcal{A}\in \tau$ olduğunu göstermek. Bunun için de her $x\in  \bigcup\mathcal{A}$ için $\bigcup\mathcal{A}\in\mathcal{M}(x)$ olduğunu göstermeliyiz.

$$\left.\begin{array}{rr} x\in \bigcup\mathcal{A}\Rightarrow (\exists A\in\mathcal{A})(x\in A) \\ \\ \mathcal{A}\subseteq \tau \end{array}\right\}\Rightarrow \left(A\subseteq \bigcup\mathcal{A}\right)\left(A\in\mathcal{M}(x)\right)\overset{N_2}{\Rightarrow} \bigcup\mathcal{A}\in\mathcal{M}(x).$$

 

$b)$ Şimdi de $\mathcal{M}(x)=\mathcal{N}(x)$ olduğunu gösterelim. Bunun için de $$\mathcal{M}(x)\subseteq \mathcal{N}(x)$$ ve $$\mathcal{N}(x)\subseteq \mathcal{M}(x)$$ olduğunu göstermeliyiz.

 

$x\in X$ ve $M\in\mathcal{M}(x)$ olsun. Amacımız $M\in\mathcal{N}(x)$ olduğunu göstermek. Bunun için de öyle bir $U\in\tau$ bulmalıyız ki $x\in U\subseteq M$ koşulu sağlansın.

$\begin{array}{rcl} M\in\mathcal{M}(x) & \overset{N_4}{\Rightarrow} & (\exists U\in\mathcal{M}(x))[U\subseteq M\wedge \underset{U\in\tau}{\underbrace{(\forall y\in U)(U\in\mathcal{M}(y))}}] \\ & \Rightarrow & (x\in U\in \tau)(U\subseteq M) \\ \\ & \Rightarrow & M\in\mathcal{N}(x) \end{array}$

O halde $\mathcal{M}(x)\subseteq \mathcal{N}(x)\ldots (1)$

 

Şimdi ise $x\in X$ ve $N\in\mathcal{N}(x)$ olsun. Amacımız $N\in\mathcal{M}(x)$ olduğunu göstermek.

$\begin{array}{rcl} N\in\mathcal{N}(x) & \Rightarrow & (\exists U\in\tau)(x\in U\subseteq N) \\ \\ & \Rightarrow & (U\in\mathcal{M}(x))(U\subseteq N) \\ \\ &\overset{N_2}{\Rightarrow}& N\in\mathcal{M}(x)\end{array}$

O halde $\mathcal{N}(x)\subseteq \mathcal{M}(x)\ldots (2)$

$(1),(2)\Rightarrow \mathcal{M}(x)= \mathcal{N}(x).$