Topoloji Elde Etme Yöntemleri-III

Question

$X\neq\emptyset$ küme olmak üzere $Ext:2^X\to 2^X$ fonksiyonu her $A,B\in 2^X$ için

$E_1)$ $Ext(\emptyset)=X,$

$E_2)$ $A\cap Ext(A)=\emptyset,$

$E_3)$ $Ext(X\setminus Ext(A))=Ext(A),$

$E_4)$ $Ext(A\cup B)=Ext(A)\cap Ext(B)$

koşullarını sağlasın.

$\mathbf{a)}$ $Ext$ fonksiyonu $E_1, E_2$ ve $E_4$ koşullarını sağladığında $X$ kümesinin $Ext(X\setminus A)=A$ koşulu sağlayan tüm altkümelerinin oluşturduğu ailenin $X$ kümesi üzerinde bir topoloji olduğunu gösteriniz. Yani $$\tau =\left\{A\subseteq X: Ext(X\setminus A)=A\right\}$$ ailesinin $X$ kümesi üzerinde bir topoloji olduğunu gösteriniz.

$\mathbf{b)}$ $Ext$ fonksiyonu $E_1, E_2$ ve $E_4$ koşullarına ilave olarak $E_3$ koşulunu da sağladığında $Ext(A)=(X\setminus A)^{\circ}$  $(a$ şıkkında elde edilen $\tau$ topolojisine göre) olduğunu gösteriniz.

Comments

$T_1)$ $Ext(X\setminus X)=Ext(\emptyset)\overset{(E_1)}=X\Rightarrow X\in\tau.$

$X\cap Ext(X)\overset{(E_2)}=\emptyset\Rightarrow Ext(X)=\emptyset\Rightarrow Ext(X\setminus\emptyset)=\emptyset\Rightarrow \emptyset\in\tau.$

 

$T_2)$ $A,B\in\tau$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} A\in \tau\Rightarrow Ext(X\setminus A)=A \\ \\ B\in \tau\Rightarrow Ext(X\setminus B)=B \end{array}\right\}\Rightarrow Ext(X\setminus A)\cap Ext(X\setminus A)=A\cap B$

$\Rightarrow Ext(X\setminus (A\cap B))=Ext((X\setminus A)\cup (X\setminus B))\overset{(E_4)}{=}Ext(X\setminus A)\cap Ext(X\setminus B)=A\cap B$

$\Rightarrow A\cap B\in\tau.$

Answer 1

$\mathbf{a)}$ $\tau$ ailesinin $X$ kümesi üzerinde bir topoloji olduğunu gösterelim.

$T_1)$ $Ext(X\setminus X)=Ext(\emptyset)\overset{(E_1)}=X\Rightarrow X\in\tau.$

$X\cap Ext(X)\overset{(E_2)}=\emptyset\Rightarrow Ext(X)=\emptyset\Rightarrow Ext(X\setminus\emptyset)=\emptyset\Rightarrow \emptyset\in\tau.$

 

$T_2)$ $A,B\in\tau$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} A\in \tau\Rightarrow Ext(X\setminus A)=A \\ \\ B\in \tau\Rightarrow Ext(X\setminus B)=B \end{array}\right\}\Rightarrow Ext(X\setminus A)\cap Ext(X\setminus A)=A\cap B$

$\begin{array}{rcl} \Rightarrow Ext(X\setminus (A\cap B)) & = & Ext((X\setminus A)\cup (X\setminus B)) \\ \\ & \overset{(E_4)}{=} & Ext(X\setminus A)\cap Ext(X\setminus B) \\ \\ & = & A\cap B\end{array}$

$\Rightarrow A\cap B\in\tau.$

 

$T_3)$ $\mathcal{A}\subseteq \tau$ olsun. Önce $Ext$ fonksiyonunun monoton olduğunu görelim.

 

$\begin{array}{l} A\subseteq B & \Rightarrow & B=A\cup B \\ \\& \Rightarrow & Ext(B)=Ext(A\cup B)\overset{(E_4)}{=}Ext(A)\cap Ext(B) \\ \\& \Rightarrow & Ext(B)\subseteq Ext(A)\ldots (*)\end{array}$

 

$\begin{array}{l}\mathcal{A}\subseteq \tau & \Rightarrow & (\forall A\in\mathcal{A})\left(A\subseteq\bigcup\mathcal{A}\right) \\ \\ & \Rightarrow & (\forall A\in\mathcal{A})\left(X\setminus (\bigcup\mathcal{A})\subseteq X\setminus A\right) \\ \\ & \overset{(*)}{\Rightarrow} & (\forall A\in\mathcal{A})(A=Ext(X\setminus A)\subseteq Ext(X\setminus (\bigcup\mathcal{A})) \\ \\ & \Rightarrow & \bigcup_{A\in\mathcal{A}}A=\bigcup\mathcal{A}\subseteq Ext(X\setminus (\bigcup\mathcal{A}))\ldots (1) \end{array}$

 

$(X\setminus (\bigcup\mathcal{A}))\cap Ext(X\setminus (\bigcup\mathcal{A}))\overset{(E_2)}=\emptyset \Rightarrow Ext(X\setminus (\bigcup\mathcal{A}))\subseteq \bigcup\mathcal{A}\ldots (2)$

 

$(1),(2)\Rightarrow Ext(X\setminus (\bigcup\mathcal{A}))=\bigcup\mathcal{A}\Rightarrow \bigcup\mathcal{A}\in\tau.$

 

$\mathbf{b)}$ Şimdi de $(a)$ şıkkında elde edilen topolojiye göre $Ext(A)=(X\setminus A)^{\circ}$ olduğunu yani $$\mathcal{A}:=\{B|(B\subseteq X\setminus A)(B\in\tau)\}$$ olmak üzere $$Ext(A)=\bigcup\mathcal{A}$$ olduğunu yani $$Ext(A)=\max\mathcal{A}$$ olduğunu gösterelim. Bunun için $$Ext(A)\in\mathcal{A}$$ ve $$(\forall B\in\mathcal{A})(B\subseteq Ext(A))$$ olduğunu göstermeliyiz.

$\left.\begin{array}{rr} A\in 2^X\overset{(E_2)}{\Rightarrow} A\cap Ext(A)=\emptyset\Rightarrow Ext(A)\subseteq X\setminus A \\ \\ A\in 2^X\overset{(E_3)}{\Rightarrow} Ext(X\setminus Ext(A))=Ext(A)\Rightarrow Ext(A)\in \tau \end{array}\right\}\Rightarrow Ext(A)\in\mathcal{A}\ldots (3)$

 

$\begin{array}{rcl} B\in\mathcal{A} & \Rightarrow & (B\subseteq Ext(A))(B\in \tau) \\ \\ & \Rightarrow & (X\setminus Ext(A)\subseteq X\setminus B)(Ext(X\setminus B)=B) \\ \\ & \overset{(*)}{\Rightarrow} & B=Ext(X\setminus B)\subseteq Ext(X\setminus Ext(A))\overset{(E_4)}{=}Ext(A)\ldots (4)\end{array}$

 

$(3),(4)\Rightarrow Ext(A)=\max\mathcal{A}=(X\setminus A)^{\circ}.$