Parabol grafik yorumu

Question

Soruma başlamadan ifade etmekte kullanacağım {a,b,c,k,m,r} kümesi, reel sayıların bir alt kümesi olsun diyorum. 

Quadratic fonksiyonlar x,y kordinat düzlemi olmak üzere;  $y=ax^2+bx+c$ şekilnde gösterilip grafiklerine özel olarak parabol diyoruz.

Grafik yorumlarken;

a katsayılı değişkene ($x^2$'ye) ±k eklersek parabol x ekseninde sağa ya da sola k birim kayar. Yukarı kaymaz. 

c katsayılı değişkenin ($x^0$ 'ı kastediyorum, ancak buna değişken dedim direk ama buna değişken denebilir değil mi? Bu da ayrı bir soru) yanına da ±m eklersek (burda yanına'dan kasıt $c.(x±m)^0$ anlaşılmayıp $c.x^0±m.x^0$ anlatmak için. Bu arada burda diğerlerinden farkli olarak değişkene ekleme yerine kısaca c katsayısına ekleme diyebiliyormuşuz şimdi farkettim bunu da :))  grafik y ekseninde değişime uğrar. Dikey yönlü hareket eder. 

Peki b katsayılı degisken neyi ifade ediyor? Orda da eklemeler hem x hem de y ekseninde değişime sebep oluyor. Ama bu değişimlerin ne orada olduğunu anlayamadım. Misal soru olarak;

Üstteki y fonksiyonunda, koordinat duzleminde $y'=ax^2+(b+r)x+c$ y parabolünün kaç birim altında/üstünde , kaç birim sağında/solunda kalır?

Yorumlariniza tesekkur ediyorum simdiden.

Answer 1

$ax^2+bx+c$ parabolünde;

$a$ parabolün kollarının darlığını/genişliğini ve yönünü(kollar aşağı mı yukarı mı),

$b$ kolların ne kadar sağda ya da solda olduğunu (b=0 ise parabolün tepe değeri y ekseni üzerindedir)

$c$ ise kolların ne kadar aşağıda/yukarıda olduğunu gösterir.

Ve:

$a$ ne sıfıra ne de x e eşit olmalıdır ki iki kol da aynı yöne uzansın

$b$ eğer $a$ ile aynı işaretli ise parabolün tepe noktası grafiğin sağındadır.

$c=0$ ise parabol (0,0) noktasından geçer

(Bunları kendi başınıza fonksiyon yazıp parabolünü çizerek bulmanız daha yararlı olur.Mesela; $f(y)=ay^2+by+c$ olabilir.)

Comments

Sağolun ama ben bunu sormadım, katsayılar değil değişkenlerle ilgili. sorum son satırda :) 

---

pardon, orayı tam anlayamadım. x'in paraboldeki görevi nedir onu mu sordunuz acaba?

Eğer sorunuz değişkenlerdeki katsayılara eklenen sayılar ise;

$ax^2$, ekleyeceğeniz sayı (k) $a$nın işareti bilinmediği durumda ne etki yapar emin değilim, zira $a$ ile k aynı işaretliyse kollar daralır.

$c$ için ekleyeceğiniz sayı (m) dediğiniz gibi dikey yönlü bir hareket verir

gelgelelim $bx$ terimine (r) eklenirse veya çıkarılırsa kökler toplamı ve dolayısıyla kökler, ve tepe noktası değişeceğinden sadece yatay veya dikey hareket yapar diyemeyiz. 

Mesela, $a>0$, $b>0$ ve r>0 ise kökler toplamı küçüleceğinden grafik sola kayar, ancak tepe noktasının apsisi ve bununla birlikte ordinatı da değişeceği için aşağı kayar tepe noktası aşağı indikçe de iki kökün arası açılır.

---

Aynen. Mesela $x^2+2x$ grafigi $x^2+(2+2)x$ grafiğinin 1 br sağa , 3 br yukarı ötelenmiş hali. Bu oran neye göre değişir diye sormuştum

---

Az önce dediğim gibi, tepe noktası burada önemli. $c$ değerindeki artış ya da azalış da tepe noktasını etkiler ama sadece yüksekliğini. $b$ değerinde yükseklik de genişlik de etkilenir mesela:

$x^2+2x+1$ için $x$in katsayısına $n$ eklersek tepe noktası $\frac{n}{2}$ birim sola kayacaktır,  aşağı ne kadar indiği ise bulacağın x değerini fonksiyonda belirtirsen anlaşılır. Ama bir oran yok, formul var.Yani bu grafik ne kadar kayar sorusunun cevabı fonksiyondan fonksiyona değişir.

---

Evet hem yatayda hem dikeyde oynama olur, yataydaki oynamanın dikeydeki oynamaya oranını bulamaz miyiz diye sormuştum. Tepe noktasından yola çıkarak bir form elde edilemez mi?

---

Tepe noktası bulma formulü 3 terimi de kapsadığından net bir şey söyleyemem ama

dikey yönlü hareket yatay yönlü hareketten çok olur bence çünkü yatayda oynama olmaması için b ile a aynı oranda artıp azalmalı, ama dikeyde oynama olmaması zor çünkü burada x'lerin herbirine değer veriyorsun. Detaylarını ben de çok bilmiyorum ama tam kare şeklinde yazarsan $c(ax+b)^2+r$ burada r değeri dışında dikey oynama olmaz.

Kısaca, sorun için bir çözüm olabilir ama o kadar ki kısmı henüz bilmediğim için cevaplayamayacağım ama merak etme bu sitedeki bu konuda uzmanlaşmış kişiler cevap verir.

---

Evet parabolik eğrilerin genel özelliği dikeyde daha fazla oynamaları. Teşekkür ederimederim