$G$ bir grup, $g\in G$ icin $|g|=k$ olsun. $H=\langle g\rangle$ ise $|H|=k $ ispatlayınız?

Question

$G$ bir grup,  $g\in G$ icin $|g|=k$ olsun. Bu taktirde

$H=\langle g\rangle$  ise  $|H|=k $ ispatlayınız?

 

$g$ nin mertebesi $k $. $H$ nin üreteci $g$ diyor, dolayısıyla üreteci $g$ olan $H $ nin mertebesi$ k$ olur? Bunu ispatlamamda yardımcı olurmusunuz?

Answer 1

Eger $g$  $H$'nin ureteci ise, $g$  $H$'nin butun elemanlarini uretir (uretecin tanimi).

$g^k=1$ oldugu acik(mertebe tanimi)?

Yani $H=<g>=\{g^k| k\in \mathbb{Z}\}=\{1,g^1,g^2,...,g^{k-1}\}$ ve burdan $|H|=k$ cikar. Cunku $H$'nin $k$ tane elemani var..

$\{1,g^1,g^2,...,g^{k-1}\}$ kumesinin elemanlarinin birbirinden farli oldugunu gostermeliyiz (boylece tam $k$ tane elemani oldugunu soyleyebiliriz.. ).

Diyelim ki rasgele aldigimiz iki eleman birbirine esit olsun. Yani,

$g^m=g^n$   ve     $0\le n<m<k$   olsun.

$g^m=g^n \Rightarrow$   $g^mg^{-n}=g^ng^{-n} \Rightarrow$   $g^{m-n}=g^0=1\Rightarrow$

$m-n=l<k,$          $g^l=1$  ise bize $g$ nin mertebesinin $l$ oldugunu soyler. Celiski.

Peki rastgele aldigimiz bir eleman neden bu kumenin icinde olsun ki? Gosterelim.

Bolme algoritmasindan sunu yazabiliriz $s=kp+q$  ve   $ 0\le q< k.$      

Burdan $g^s=g^{kp+q}=g^{kp}g^q=(g^k)^pg^q=(1)^pg^q=g^q \in \{1,g^1,g^2,...,g^{k-1}\}$ , cunku  $ 0\le q< k.$  

Yani $\{g^{k+1},g^{k+2},...,g^{k+t}\}$ elemanlainin hepsi $\{1,g^1,g^2,...,g^{k-1}\}$ kumesine duser. Devirli grup ismi de burdan gelir..

Comments

Teşekkürler çok sağolun 

---

$\{e,g^1,g^2,...,g^{k-1}\}$ 

kümesinin elemanlarının farklı olduğundan da emin olmalıyız.

---

Haklisiniz, duzelttim..

---

$m-n=l$ olsun diyorum